Question

14．如圖所示，半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)分布著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，半圓的左邊垂直x軸放置一粒子發(fā)射裝置，在-R≤y≤R的區(qū)間內(nèi)各處均沿x軸正方向同時(shí)發(fā)射出一個(gè)帶正電粒子，粒子質(zhì)量均為m，電荷量均為q，粒子在發(fā)射裝置內(nèi)從靜止被電場(chǎng)加速至某速度，不計(jì)粒子間的相互作用，且粒子重力忽略不計(jì)，所有粒子均能穿過(guò)磁場(chǎng)到達(dá)y軸，且沿x軸射入的粒子剛好經(jīng)過(guò)y軸上y=R位置，求

（1）發(fā)射裝置中加速電壓U的大小；
（2）最后到達(dá)y軸的粒子與最先到達(dá)y軸的粒子的時(shí)間差△t；
（3）把粒子發(fā)射裝置的發(fā)射區(qū)間改成-$\frac{R}{2}$≤y≤$\frac{R}{2}$，求y軸上有粒子到達(dá)的區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件，沿x軸正方向射入的粒子剛好經(jīng)過(guò)y軸上y=R位置，那么粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r=R，于是求得粒子在磁場(chǎng)中的速度，此速度是經(jīng)電場(chǎng)加速獲得，由動(dòng)能定理求出加速電壓．
（2）由于粒子在磁場(chǎng)中的速率不變，所以最長(zhǎng)或最短時(shí)間就是對(duì)應(yīng)的路程最長(zhǎng)或最短，由題意知道，直接打在y軸上的粒子時(shí)間最短，而經(jīng)過(guò)x軸正方向射入的粒子時(shí)間最長(zhǎng)．
（3）由磁聚焦的原理，當(dāng)然也可以證明從$0≤y≤\frac{R}{2}$區(qū)域射入磁場(chǎng)的粒子最后打在（0，R）點(diǎn)．而從$-\frac{R}{2}≤y≤0$區(qū)域射入的粒子依次分布在y軸上．

解答 解（1）由$Uq=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得$U=\frac{m{v}^{2}}{2q}$
 由條件可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r=R，根據(jù)$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得$v=\frac{qBR}{m}$
 聯(lián)立解得   U=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$
（2）從x=-R處開(kāi)始計(jì)時(shí)，最先到達(dá)y軸的是不經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)直接到達(dá)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為${t}_{1}=\frac{R}{v}$
 最后到達(dá)y軸的是磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)圓弧弧長(zhǎng)最長(zhǎng)的粒子，即沿x軸入射的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為${t}_{2}=\frac{πm}{2qB}$  
 故時(shí)間差為△t=$\frac{πm}{2qB}-\frac{R}{v}$
（3）由幾何關(guān)系可得$0≤y≤\frac{R}{2}$的粒子全部打在y=R位置，$-\frac{R}{2}≤y≤0$的粒子依次分布在y軸上
 其中$y=-\frac{R}{2}$的粒子剛好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，故y軸上有粒子到達(dá)的區(qū)間為y=0到y(tǒng)=R
答：（1）發(fā)射裝置中加速電壓U的大小為$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$．
（2）最后到達(dá)y軸的粒子與最先到達(dá)y軸的粒子的時(shí)間差△t為$\frac{πm}{2qB}-\frac{R}{v}$．
（3）把粒子發(fā)射裝置的發(fā)射區(qū)間改成-$\frac{R}{2}$≤y≤$\frac{R}{2}$，y軸上有粒子到達(dá)的區(qū)間是y=0到y(tǒng)=R．

點(diǎn)評(píng) 本題的與眾不同的是，磁場(chǎng)區(qū)域是一個(gè)半圓形區(qū)域，既要考慮到粒子的偏轉(zhuǎn)方向，同時(shí)又入射的粒子的區(qū)間范圍．還有一點(diǎn)是粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與半圓的半徑相等，這是“磁聚焦”的關(guān)鍵點(diǎn)，但只對(duì)從x軸上方入射的粒子才成立．