Question

6．如圖所示為某種彈射小球的游戲裝置，水平面上固定一輕質(zhì)彈簧及長(zhǎng)度可調(diào)節(jié)的豎直管AB．細(xì)管下端接有一小段長(zhǎng)度不計(jì)的圓滑彎管，上端B與四分之一圓弧彎管BC相接，每次彈射前，推動(dòng)小球?qū)�彈簧壓縮到同一位置后鎖定．解除鎖定，小球即被彈簧彈出，水平射進(jìn)細(xì)管A端，再沿管ABC從C端水平射出．已知彎管BC的半徑R=0.40m，小球的質(zhì)量為m=0.1kg，當(dāng)調(diào)節(jié)豎直細(xì)管AB的長(zhǎng)度L至L₀=0.80m時(shí)，發(fā)現(xiàn)小球恰好能過管口C端．不計(jì)小球運(yùn)動(dòng)過程中的機(jī)械能損失．
（1）求每次彈射時(shí)彈簧對(duì)小球所做的功W；
（2）當(dāng)L取多大時(shí)，小球落至水平面的位置離直管AB最遠(yuǎn)？并求出其最大值x_m．
（3）改變小球質(zhì)量為m時(shí)，小球到達(dá)管口C時(shí)管壁對(duì)球的作用力F_N也相應(yīng)變化．已知AB長(zhǎng)度為L(zhǎng)₀=0.80m的情況，求F_N隨質(zhì)量m的變化關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能過管口C端，可知小球在C點(diǎn)的臨界速度為0，根據(jù)動(dòng)能定理求得小球彈射時(shí)彈簧對(duì)小球做的功；
（2）小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)小球射程公式求出小球射程與L的關(guān)系，由數(shù)學(xué)關(guān)系式求射程最大時(shí)對(duì)應(yīng)L的數(shù)值；
（3）小球通過C時(shí)臨界速度為$\sqrt{gR}$時(shí)，小球?qū)�管道壁沒有作用力，大于臨界速度時(shí)對(duì)上管壁有壓力，小球臨界速度時(shí)對(duì)下管壁有壓力，根據(jù)動(dòng)能定理求出經(jīng)過C點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出管壁對(duì)球的作用力與質(zhì)量m的關(guān)系．

解答 解：（1）小球恰好能到達(dá)管口C時(shí)，v_C=0
研究小球從靜止開始運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程，只有重力和彈簧對(duì)小球做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
W_彈-mg（L₀+R）=0
所以彈簧對(duì)小球做的功為：
W_彈=mg（L₀+R）=0.1×10×（0.8+0.4）J=1.2J
（2）當(dāng)AB段長(zhǎng)度為任意值L時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理有：
W_彈-mg（L+R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0
可得：v_C=$\sqrt{2g（{L}_{0}-L）}$
小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2（L+R）}{g}}$
水平射程為：x=v_Ct=2$\sqrt{（{L}_{0}-L）（L+R）}$
顯然，當(dāng)L₀-L=L+R時(shí)，平拋射程有最大值，對(duì)應(yīng)的豎直細(xì)管AB的長(zhǎng)度為：
L=$\frac{{L}_{0}-R}{2}$=$\frac{0.80-0.40}{2}$m=0.2m
此時(shí)小球落至水平面的位置離直管AB的距離為最大，為：
x_m=2$\sqrt{（{L}_{0}-L）（L+R）}$=2×$\sqrt{（0.8-0.2）×（0.2+0.4）}$=1.2m；
（3）取任意小球質(zhì)量，顯然當(dāng)m＞0.1kg時(shí)，小球到達(dá)不了C點(diǎn)，現(xiàn)討論當(dāng) m＜0.1kg的情形：
由動(dòng)能定理得：W_彈-mg（L₀+R）=$\frac{1}{2}mv{′}_{C}^{2}$-0
經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律有：mg-F_N=m$\frac{{v}_{C}^{′2}}{R}$
聯(lián)立兩式，并代入W_彈，得：F_N=70m-6，
其中 m＜0.1kg
答：（1）每次彈射時(shí)彈簧對(duì)小球所做的功W是1.2J；
（2）當(dāng)L取0.2m時(shí)，小球落至水平面的位置離直管AB最遠(yuǎn)，其最大值x_m是1.2m．
（3）F_N隨質(zhì)量m的變化關(guān)系是F_N=70m-6，其中 m＜0.1kg．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，掌握小球能過最高點(diǎn)的臨界條件，注意掌握過最高點(diǎn)時(shí)的繩球模型和桿球模型臨界條件的不同．