Question

7．小型起重機(jī)額定功率為3kW，用該起重機(jī)通過(guò)一纜繩將一質(zhì)量為20kg的重物吊起90m．若纜繩承受的拉力不超過(guò)300N，則起重機(jī)吊起重物最短需要多長(zhǎng)時(shí)間？（完全吊起重物時(shí)速度已達(dá)到最大）

Answer 1

分析 當(dāng)重物先在最大拉力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，達(dá)到額定功率后，保持功率不變，重物到達(dá)平臺(tái)的時(shí)間最短．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合動(dòng)能定理求出恒定功率下運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出最短時(shí)間

解答 解：當(dāng)重物先在最大拉力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，達(dá)到額定功率后，保持功率不變，重物到達(dá)平臺(tái)的時(shí)間最短．
重物勻加速運(yùn)動(dòng)的末速度v=$\frac{P}{F}=\frac{3000}{300}m/s=10m/s$，
勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度a=$\frac{F-mg}{m}=\frac{300-200}{20}m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，則勻加速運(yùn)動(dòng)的位移${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{1{0}^{2}}{2×5}m=10m$，勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{10}{5}s=2s$
能達(dá)到的最大速度為${v}_{m}=\frac{P}{mg}=\frac{3000}{200}m/s=15m/s$
設(shè)保持額定功率運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，根據(jù)動(dòng)能定理得，
$Pt-mg（h-{x}_{1}）=\frac{1}{2}{mv}_{m}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得t=5.9s
則最短時(shí)間t′=t+t₁=7.9s．
答：起重機(jī)吊起重物最短時(shí)間為7.9s

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清重物的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，知道重力和拉力相等時(shí)，速度最大，結(jié)合動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解