Question

16．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度大小為g．
（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω₀；
（2）當(dāng)ω=0.5ω時(shí)小物體仍然相當(dāng)于陶罐靜止，求此時(shí)小物塊受到的摩擦力．

Answer 1

分析 （1）小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合角速度的大��；
（2）當(dāng)角速度為0.5ω₀時(shí)，由重力、支持力和摩擦力的合力提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大�。�

解答 解：（1）當(dāng)ω=ω₀時(shí)，小物塊受到的摩擦力恰好為零，只受重力和支持力作用，靠重力和支持力的合力提供向心力，如下圖，根據(jù)牛頓第二定律

  F_合=mgtanθ ①
  F_向=mω₀²r ②
而r=Rsin θ，F(xiàn)_合=F_向 ③
由①②③得ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{R}}$④
（2）當(dāng)ω=0.5ω₀時(shí)，摩擦力的方向沿罐壁的切線方向向上．建立如下圖所示的坐標(biāo)．

在豎直方向上，有 F_Ncosθ+F_fsinθ-mg=0
在水平方向上，有 F_Nsinθ+F_fcosθ=mr（0.5ω₀）²
由幾何關(guān)系知，r=Rsinθ
解得 F_f=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$mg
答：
（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，ω₀為$\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）當(dāng)ω=0.5ω時(shí)小物體仍然相當(dāng)于陶罐靜止，此時(shí)小物塊受到的摩擦力方向沿罐壁切線向上，大小為$\frac{3\sqrt{3}}{8}$mg．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解．