Question

19．如圖所示，在無(wú)窮大的光滑水平面上有兩個(gè)物塊A、B，質(zhì)量分別為M、m（M＞m），物塊A右端拴接輕彈簧l．現(xiàn)用物塊B將固定在墻壁上的彈簧2緩慢壓縮，當(dāng)彈簧2的彈性勢(shì)能為E₀時(shí)，釋放物塊B．物塊B被彈簧2彈開(kāi)后，碰到彈簧l（不粘連），由于M比m大，物塊B被反彈，以后B將在兩彈簧之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)．則從釋放物塊B開(kāi)始，在以后整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：
（1）分析說(shuō)明何時(shí)B的速度最大？并求出B速度的最大值？
（2）分析說(shuō)明何時(shí)彈簧l所能獲得的彈性勢(shì)能最大？并求出這個(gè)最大值．
（3）若已知M=5m，求A、B最后的運(yùn)動(dòng)速度．
（4）若已知M遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于m，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧1對(duì)物塊B的總沖量．

Answer 1

分析 （1）物體A、B第一次碰撞時(shí)，當(dāng)速度相同時(shí)，彈簧壓縮的最短，彈性勢(shì)能最大，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式后聯(lián)立求解即可；
（2）系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出最大彈性勢(shì)能；
（3）第一次碰撞過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式求解末速度；第二次碰撞過(guò)程同樣根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式求解末速度；通過(guò)計(jì)算會(huì)發(fā)現(xiàn)第二次碰撞后B的速度開(kāi)始小于A的速度；
（4）應(yīng)用動(dòng)量定理可以求出B所受的沖量．

解答 解：（1）系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)彈簧2第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，彈簧2、彈簧1及M的能量為零時(shí)，m的動(dòng)能最大，速度最大．
由機(jī)械能守恒有：E₀=$\frac{1}{2}$mv₀²，解得，B的最大速度為：v₀=$\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$；
（2）彈性1第一次壓縮到最短時(shí)，彈簧1的彈性勢(shì)能最大．因?yàn)锽與彈簧2碰撞的次數(shù)越多，
系統(tǒng)向左的動(dòng)量就越大，當(dāng)彈簧1壓縮到最短時(shí)的共同速度也就越大，這樣系統(tǒng)的動(dòng)能也越大，而總機(jī)械能守恒，彈簧1的勢(shì)能反而減�。� 
以1的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：mv₀=（M+m）v，
由能量守恒定律得：E_P1=E₀-$\frac{1}{2}$（m+M）v²，解得：E_P1=$\frac{{M{E_0}}}{M+m}$；
（3）相互作用前A與B的速度設(shè)為v_A、v_B，相互作用后的速度設(shè)為v_A′、v_B′，
由動(dòng)量守恒有：Mv_A+mv_B=Mv_A′+mv_B′，
由能量守恒有：$\frac{1}{2}$Mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$Mv_A′²+$\frac{1}{2}$mv_B′²，
解得：$v_A^'=\frac{M-m}{M+m}{v_A}+\frac{2m}{M+m}{v_B}=\frac{2}{3}{v_A}+\frac{1}{3}{v_B}$，$v_B^'=\frac{2M}{M+m}{v_A}+\frac{m-M}{M+m}{v_B}=\frac{5}{3}{v_A}-\frac{2}{3}{v_B}$；
將v_A=0，v_B=v₀代入上式得第一次作用后A、B的速度分別為：$\frac{1}{3}{v_0}$和$-\frac{2}{3}{v_0}$
B與彈簧2相碰后以$\frac{2}{3}{v_0}$反彈回來(lái)，將v_A=$\frac{1}{3}{v_0}$，v_B=$\frac{2}{3}{v_0}$代入上式得，
第二次相互作用后A、B的速度分別為$\frac{4}{9}{v_0}$和$\frac{1}{9}{v_0}$，之后不能再發(fā)生相作用．
所以最終A、B的速度為：V_A=$\frac{4}{9}{v_0}$=$\frac{4}{9}\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$，V_B=$\frac{1}{9}\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$，方向：向左；
（4）由上問(wèn)的一般表達(dá)式可知：當(dāng)M＞＞m時(shí)，每次相互作用后，M的速率要增加一個(gè)微小量，
m的速率要減小一個(gè)微小量，而只要m的速率大于M的速率，就還要發(fā)生相互作用，
最終M和m將以共同速度向左運(yùn)動(dòng)，彈簧保持原長(zhǎng)．
對(duì)系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律有：E₀=$\frac{1}{2}$（M+m）V_共²，
對(duì)M（含彈簧1）由動(dòng)量定理有：I=MV_共
由牛頓第三定律：I′=-I，
解得：彈簧1對(duì)B的沖量大小為：I′=$M\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{M+m}}$，方向水平向右．
答：（1）當(dāng)彈簧2第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，彈簧2、彈簧1及M的能量為零時(shí)，B的速度最大，B速度的最大值為：$\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$；
（2））彈性1第一次壓縮到最短時(shí)，彈簧l所能獲得的彈性勢(shì)能最大，這個(gè)最大值為：$\frac{{M{E_0}}}{M+m}$；
（3）若已知M=5m，A、B最后的運(yùn)動(dòng)速度分別為：$\frac{4}{9}\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$、$\frac{1}{9}\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$；
（4）若已知M遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于m，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧1對(duì)物塊B的總沖量為：$M\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{M+m}}$，方向水平向右．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)量與能量綜合的問(wèn)題，關(guān)鍵是明確碰撞過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，同時(shí)結(jié)合機(jī)械能守恒定律列式分析；第三問(wèn)要對(duì)每次碰撞過(guò)程討論，直到不能碰撞為止．