Question

14．如圖所示，半徑為R的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個端點B和圓心O的連線與水平方向間的夾角θ=30°，另一端點C為圓弧軌道的最低點，過C點的軌道切線水平．C點右側(cè)的光滑水平面上緊挨C點放置一質(zhì)量為2m足夠長的木板，木板的上表面與C點等高，質(zhì)量為m的小物塊從空中某處A以大小v₀=$\sqrt{gR}$的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道并滑上滑板．不計空氣阻力，重力加速度大小為g．求：
（1）AB兩點在水平方向的距離x；
（2）物塊經(jīng)過軌道上C點時，所受C點的支持力大小F；
（3）在物塊剛滑上木板到相對木板靜止的過程中，物塊與木板之間因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律得出物體在B點時的豎直分速度，求出平拋運(yùn)動的時間，從而求得AB兩點在水平方向的距離x；
（2）由平拋運(yùn)動的規(guī)律求出物體在B點時的速度，對B到C段運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求出物塊經(jīng)過C點的速度，根據(jù)牛頓第二定律求軌道對物塊的支持力；
（3）在物塊剛滑上木板到相對木板靜止的過程中，由動量守恒和能量守恒定律列方程聯(lián)立求解因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）物塊經(jīng)過軌道上B點時的豎直分速度大小為：
v_y=$\frac{{v}_{0}}{tanθ}$
由v_y=gt得：t=$\frac{{v}_{y}^{\;}}{g}$
AB兩點在水平方向的距離為：x=v_yt
聯(lián)立解得：x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{gtanθ}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{g}$
（2）物塊經(jīng)過軌道上B點時的速度大小為：v_B=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$=2$\sqrt{gR}$；
由B到C機(jī)械能守恒，有：mgR（1+sinθ）=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv_B²
得：v_c=$\sqrt{7gR}$
在C點，由牛頓第二定律有：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得：F=8mg
（3）設(shè)物塊與木板相對靜止時的速度為v，取向右方向為正方向，由動量守恒定律有：
  mv_c=（m+2m）v
根據(jù)能量守恒定律有：Q=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$（m+2m）v²
由以上兩式得：Q=$\frac{7}{3}$mgR
答：（1）AB兩點在水平方向的距離x是$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{g}$；
（2）物塊經(jīng)過軌道上C點時，所受C點的支持力大小F是8mg；
（3）在物塊剛滑上木板到相對木板靜止的過程中，物塊與木板之間因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q是$\frac{7}{3}$mgR．

點評 本題的關(guān)鍵是要分析清楚物體C的運(yùn)動過程，掌握平拋運(yùn)動的研究方法：運(yùn)動的分解法．第3問也可以根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出相對運(yùn)動的位移大小，再求熱量．