Question

20．開普勒1609年一1619年發(fā)表了著名的開普勒行星運行三定律，其中第三定律的內(nèi)容是：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等．萬有引力定律是科學(xué)史上最偉大的定律之一，它于1687年發(fā)表在牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中．
（1）請根據(jù)開普勒行星運動定律和牛頓運動定律等推導(dǎo)萬有引力定律（設(shè)行星繞太陽的運動可視為勻速圓周運動）；
（2）牛頓通過“月-地檢驗”進一步說明了萬有引力定律的正確性，請簡述一下如何進行“月-地檢驗”？

Answer 1

分析 行星繞太陽能做圓周運動，是由引力提供向心力來實現(xiàn)的．再由開普勒第三定律可推導(dǎo)出萬有引力定律．由圓周運動可算出向心加速度大小，再將月球做圓周運動的向心加速度與地球表面重力加速度進行比較，從而證明：重力和星體間的引力是同一性質(zhì)的力．

解答 解：（1）設(shè)行星的質(zhì)量為m，太陽質(zhì)量為M，行星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑為R，公轉(zhuǎn)周期為T，太陽對行星的引力為F．
太陽對行星的引力提供行星運動的向心力F=m（$\frac{2π}{T}$）²R=$\frac{4{π}^{2}mR}{{T}^{2}}$
根據(jù)開普勒第三定律$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=K
得T²=$\frac{{R}^{3}}{K}$
故F=$\frac{4{π}^{2}mK}{{R}^{2}}$
根據(jù)牛頓第三定律，行星和太陽間的引力是相互的，太陽對行星的引力大小與行星的質(zhì)量成正比，反過來，行星對太陽的引力大小與也與太陽的質(zhì)量成正比．所以太陽對行星的引力
F∝$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
寫成等式有 F=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$ （G為常量）．

（2）如果重力與星體間的引力是同種性質(zhì)的力，都與距離的二次方成反比關(guān)系，那么，由于月心到地心的距離是地球的半徑的N倍，月球繞地球做近似圓周運動，其向心加速度就應(yīng)該是地球表面重力加速度的$\frac{1}{{N}^{2}}$倍，在牛頓的時代，重力加速度已經(jīng)比較精確的測定，也能精確的測定月球與地球的距離，月球公轉(zhuǎn)的周期，從而能夠算出月球運動的向心加速度．根據(jù)計算結(jié)果驗證是否符合上述的“平方反比”關(guān)系．
答：（1）推導(dǎo)如上所述；
（2）簡述如上說明．

點評 萬有引力定律通過理論進行科學(xué)、合理的推導(dǎo)，再由實際數(shù)據(jù)進行實踐證明，從而進一步確定推導(dǎo)的正確性．