Question

11．如圖所示，固定奪豎直平面內的光滑金屬細圓環(huán)半徑為R，圓環(huán)的最高點通過絕緣輕質細線懸掛一質量為m視為質點的金屬小球．圓環(huán)帶電均勻且?guī)Я繛镼，小球與圓環(huán)同種電荷且電荷量為q，小球靜止在垂直圓環(huán)平面的對稱軸上的某一位置，已知靜電力常量為k，重力加速度為g，則繩長為（　　）

• A． L=$\root{3}{\frac{kQqR}{mg}}$
• B． L=$\sqrt{\frac{kQqR}{mg}+{R}^{2}}$
• C． L=$\sqrt{\frac{kQq}{mg}+{R}^{2}}$
• D． L=$\root{3}{\frac{kQq{R}^{2}}{mg}}$

Answer 1

分析 小球受到的庫侖力為圓環(huán)各點對小球庫侖力的合力，則取圓環(huán)上△x來分析，再取以圓心對稱的△x，這2點合力向右，距離L，豎直方向抵消，只有水平方向；求所有部分的合力Σ△m，即可求得庫侖力的表達式；小球受重力、拉力及庫侖力而處于平衡，則由共點力的平衡條件可求得繩對小球的拉力及庫侖力；則可求得繩長

解答 解：由于圓環(huán)不能看作點電荷，我們取圓環(huán)上一部分△x，設總電量為Q，則該部分電量為$\frac{△x}{2πR}$Q；
由庫侖定律可得，該部分對小球的庫侖力F₁=$\frac{KQ△XQ}{2π{L}^{2}R}$，方向沿該點與小球的連線指向小球；
同理取以圓心對稱的相同的一段，其庫侖力與F₁相同；如圖所示，
兩力的合力應沿圓心與小球的連線向外，大小為2$\frac{KQ△XQ}{2π{L}^{2}R}$×$\sqrt{\frac{{L}^{2}-{R}^{2}}{L}}$；
因圓環(huán)上各點對小球均有庫侖力，故所有部分庫侖力的合力F_庫=$\frac{k{Q}^{2}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}{π{L}^{3}R}$×πR=$\frac{k{Q}^{2}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}{{L}^{3}}$，方向水平向右；
小球受力分析如圖所示，小球受重力、拉力及庫侖力而處于平衡，故T與F的合力應與重力大小相等，方向相反；
由幾何關系可得 $\frac{F}{\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}=\frac{k{Q}^{2}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}{{L}^{3}}$
解得L=$\root{3}{\frac{kQqR}{mg}}$；
故A正確，BCD錯誤；
故選A．

點評 因庫侖定律只能適用于真空中的點電荷，故本題采用了微元法求得圓環(huán)對小球的庫侖力，應注意體會該方法的使用．
庫侖力的考查一般都是結合共點力的平衡進行的，應注意正確進行受力分析