Question

4．（1）如圖所示，的一端滑塊與長木板靜放在水平面上，已知它們間的摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，現(xiàn)將板緩慢抬高，試問板與水平面間夾角φ在多大范圍內(nèi)變化，可使木塊與板始終保持相對靜止？
（2）現(xiàn)將木板傾斜角調(diào)整為$\frac{π}{9}$（rad），滑塊以3m/s的初速度沿木板向上運動，求滑塊在木板上運動的平均速度$\overline{v}$（g=10m/s²）
（3）調(diào)整木板傾斜角φ，可改變滑塊沿木板向上滑動的運動位移和時間，當同樣的滑塊仍以3m/s的初速度沖上木板，求滑塊在向上滑行階段中出現(xiàn)最短運動時間所需的傾角大小及最短時間t_min值．（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）滑塊的重力沿斜面向下的分力小于等于最大靜摩擦力時木塊與板始終保持相對靜止，由此列式求解．
（2）由木板的傾角可判斷出滑塊沖上木板后最終靜止在板上，做向上做勻減速運動，由公式$\overline{v}$=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$求解．
（3）根據(jù)能量守恒定律列式，得到滑塊上滑的位移與木板傾角的關(guān)系式，由數(shù)學知識求出最短位移，再求對應(yīng)的時間．

解答 解：（1）滑塊與木板相對靜止時應(yīng)滿足：
  mgsinφ≤F_max=μmgcosφ
得 0≤tanφ≤μ             
將μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$代入得 0≤φ≤$\frac{π}{6}$　　　　　　　　　
（2）由于μ=tan$\frac{π}{6}$≥tan$\frac{π}{9}$
或 mgsinθ≤μmgcosθ
所以滑塊沖上木板后最終靜止在板上　
  $\overline{v}$=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$=$\frac{3+0}{2}$=1.5m/s　　
（3）由能量守恒得
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgsinθ•x+μmgcosθ•x
得 x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+φ{(diào)\;}_{0}）}$
當 θ=$\frac{π}{2}$-φ₀=$\frac{π}{3}$時，x最短，x的最小值為 x_min=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}}$
滑塊最終停留在板上
則最短時間 t_min=$\frac{{x}_{min}^{\;}}{\overline{v}}$=$\frac{{v}_{0}}{g\sqrt{1+{μ}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{20}$s≈0.26s
答：
（1）板與水平面間夾角φ在0≤φ≤$\frac{π}{6}$的范圍內(nèi)變化，可使木塊與板始終保持相對靜止．
（2）滑塊在木板上運動的平均速度$\overline{v}$是1.5m/s．
（3）滑塊在向上滑行階段中出現(xiàn)最短運動時間所需的傾角大小是$\frac{π}{3}$，最短時間t_min值是0.26s．

點評 本題要掌握物體不滑動的條件：使物體產(chǎn)生運動趨勢的外力不大于最大靜摩擦力．知道涉及力在空間的效應(yīng)時優(yōu)先考慮動能定理，會運用函數(shù)法求解極值．