Question

7．如圖所示，ABC是光滑半圓形軌道，軌道直徑AOC沿豎直方向，長(zhǎng)為0.8m，今有一質(zhì)量為m的小球自A點(diǎn)以初速度v水平射入軌道內(nèi)，求：
（1）小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平初速度v的最小值；
（2）小球以（1）問的最小初速度運(yùn)動(dòng)后到達(dá)C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力是多少；
（3）若小球的水平初速度小于（1）中最小值，小球有無(wú)可能經(jīng)過B點(diǎn)？若能，求出初速度滿足的條件；若不能，說(shuō)明理由．（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）小球在A點(diǎn)時(shí)重力提供向心力，此時(shí)速度最小，由牛頓第二定律求出小球的最小速度．
（2）機(jī)械能守恒定律求出小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度，由牛頓第二定律求出支持力．
（3）小球的速度小于做圓周運(yùn)動(dòng)的最小速度，小球拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)分析答題．

解答 解：（1）小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)的臨界速度是：
在A點(diǎn)時(shí)重力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，
由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×\frac{0.8}{2}}$=2m/s；
（2）小球從A到C過程機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律得：mgD+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv_B²，
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F=60m；
（3）小球的速度小于2m/s，則小球拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，
如果球恰好過B點(diǎn)，則：水平方向：R=vt，
豎直方向：R=$\frac{1}{2}$gt²，解得：v=$\sqrt{2}$m/s；
答：（1）小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平初速度v的最小值是2m/s
（2）小球以（1）問的最小初速度運(yùn)動(dòng)后到達(dá)C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力是60m；
（3）若小球的水平初速度小于（1）中最小值，小球有可能經(jīng)過B點(diǎn)，初速度滿足的條件是：$\sqrt{2}$m/s≤v＜2m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，考查了求小球的速度、軌道的支持力等問題；分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過程、知道小球滿足題意時(shí)速度的臨界條件是正確解題的關(guān)鍵；應(yīng)用牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以解題．