Question

14．蕩秋千是大家喜愛的一項體育活動．隨著科技的迅速發(fā)展，將來的某一天，同學們也許會在其它星球上享受蕩秋千的樂趣．假設你當時所在星球的質(zhì)量是M、半徑為R，可將人視為質(zhì)點，秋千質(zhì)量不計、擺長不變、擺角小于90°，萬有引力常量為G．那么，
（1）該星球表面附近重力加速度是多少？
（2）該星球的第一宇宙速度是多少？
（3）若經(jīng)過最低位置的速度為v₀，你能上升的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)在星球地面附近重力近似等于萬有引力求解星球表面的重力加速度
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求第一宇宙速度
（3）根據(jù)機械能守恒定律求上升的最大高度

解答 解：（1）設人的質(zhì)量為m，在星球地面附近重力近似等于萬有引力
$m{g}_{星}^{\;}=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$   
解得：${g}_{星}^{\;}=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
（2）該星球的第一宇宙速度設為v，根據(jù)萬有引力提供向心力有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$     
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
（3）設人能上升的高度為h，由機械能守恒得：
$m{g}_{星}^{\;}h=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
$h=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{g}_{星}^{\;}}$   
將$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$代入上式得：$h=\frac{{R}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}}{2GM}$
答：（1）該星球表面附近重力加速度是$G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
（2）該星球的第一宇宙速度是$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
（3）若經(jīng)過最低位置的速度為v₀，你能上升的最大高度是$\frac{{R}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}}{2GM}$

點評 把星球表面的物體運動和天體運動結(jié)合起來是考試中常見的問題．重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量