Question

5．宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．如圖，設四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為L的正方形的四個頂點上．已知引力常量為G，關于四星系統(tǒng)（忽略星體自轉的影響），下列說法正確的是（　　）

• A． 四顆星的向心加速度的大小為$\frac{2\sqrt{2}Gm}{{L}^{2}}$
• B． 四顆星運行的線速度大小是$\sqrt{\frac{Gm（1+2\sqrt{2}）}{2\sqrt{2}L}}$
• C． 四顆星表面的重力加速度均為G$\frac{m}{{R}^{2}}$
• D． 四顆星的周期均為$\sqrt{\frac{2L}{（2\sqrt{2}+1）Gm}}$

Answer 1

分析 在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力，根據(jù)合力提供向心力列等式，求出星體勻速圓周運動的向心加速度、線速度和周期．
根據(jù)萬有引力等于重力，求出星體表面的重力加速度．

解答 解：A、四星系統(tǒng)的圓心在正方形中心，半徑為r=$\frac{\sqrt{2}}{2}L$，向心力由合力提供，故：${F}_{n}=\frac{G{m}^{2}（1+2\sqrt{2}）}{2{L}^{2}}$，
解得：$a=\frac{G{m}^{\;}（1+2\sqrt{2}）}{2{L}^{2}}$，故A錯誤．
B、根據(jù)a=$\frac{{v}^{2}}{r}$，有：v=$\sqrt{\frac{Gm（1+2\sqrt{2}）}{2\sqrt{2}L}}$，故B正確．
D、根據(jù)T=$\frac{2πr}{v}$，有：T=$2πL\sqrt{\frac{\sqrt{2}L}{（2\sqrt{2}+1）Gm}}$，故D錯誤．
C、由$mg=\frac{{Gm{m_0}}}{R^2}$，得到g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$，故C正確．
故選：BC

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．