Question

14．懸掛在O點(diǎn)的一根不可伸長(zhǎng)的絕緣細(xì)線下 端有一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的金屬小球1，若在空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，則小球1靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向的夾角θ=60°，如圖所示．若在某時(shí)刻突然撤去電場(chǎng)，小球1向下擺動(dòng)，當(dāng)其運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)線剛好被撞斷，小球1與放在絕緣水平面上B處（O點(diǎn)正下方）的質(zhì)量和大小與小球1完全一樣的不帶電金屬小球2發(fā)生彈性正碰，碰撞時(shí)間極短，碰撞時(shí)電荷量不損失．已知絕緣水平面是光滑的，且在C處固定有一電荷量為-Q的點(diǎn)電荷（假設(shè)此點(diǎn)電荷對(duì)小球不起作用），碰后小球會(huì)沿BC連線向固定點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)時(shí)速度大小為v=$\sqrt{2gL}$，已知細(xì)線的長(zhǎng)及B、C兩點(diǎn)間的距離均為L(zhǎng)，靜電力常數(shù)為k，不計(jì)兩小球間電場(chǎng)力．求：
（1）所加勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值和方向；
（2）細(xì)線能夠承受的最大拉力；
（3）已知點(diǎn)電荷周圍某點(diǎn)電勢(shì)計(jì)算公式為φ=$\frac{kQ}{r}$（取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，Q為點(diǎn)電荷所帶電荷量，r為該點(diǎn)到點(diǎn)電荷的距離），求B、D兩點(diǎn)間的電勢(shì)差及C、D兩點(diǎn)間距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球受力分析，受重力、電場(chǎng)力和拉力，小球保持靜止，受力平衡，先根據(jù)平衡條件確定電場(chǎng)力最小的臨界情況，然后求解最小電場(chǎng)力；
（2）在某時(shí)刻突然撤去電場(chǎng)，小球小角度擺動(dòng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律列式求解最低點(diǎn)速度；在最低點(diǎn)，小球受重力和拉力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解細(xì)線的拉力；再根據(jù)牛頓第三定律得到小球?qū)��?xì)線的拉力．
（3）根據(jù)能量守恒，結(jié)合題中信息解答即可．

解答 解：（1）對(duì)小球受力分析，受重力、電場(chǎng)力和拉力，如圖所示：

從圖中可以看出，當(dāng)電場(chǎng)力方向與細(xì)線垂直時(shí)，電場(chǎng)力最小，電場(chǎng)強(qiáng)度最小，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件，有：
 mgsinθ=qE _min
解得：E_min=$\frac{mgsin60°}{q}$=$\frac{\sqrt{3}mg}{2q}$，方向與水平方向成60°斜向右上方．
（2）某時(shí)刻突然撤去電場(chǎng)，小球小角度擺動(dòng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律，有：
 mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
得 v_B=$\sqrt{gL}$
在最低點(diǎn)，小球受重力和拉力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
T-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
聯(lián)立解得：細(xì)線能夠承受的最大拉力 T=2mg
（3）小球從B到D，由動(dòng)能定理得：
  qU_BD=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
將v_D=v=$\sqrt{2gL}$，代入得：
B、D兩點(diǎn)間的電勢(shì)差 U_BD=$\frac{mgL}{2q}$
設(shè)CD間距離為r，據(jù)題意有：D點(diǎn)電勢(shì)為 φ_D=$\frac{kQ}{r}$，B點(diǎn)電勢(shì)為 φ_B=$\frac{kQ}{L}$
又 U_BD=φ_B-φ_D，聯(lián)立解得 r=$\frac{2kQqL}{2kQq-mg{L}^{2}}$
答：
（1）所加勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值是=$\frac{\sqrt{3}mg}{2q}$，方向與水平方向成60°斜向右上方．
（2）細(xì)線能夠承受的最大拉力是2mg；
（3）B、D兩點(diǎn)間的電勢(shì)差是$\frac{mgL}{2q}$，CD間距離是$\frac{2kQqL}{2kQq-mg{L}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題第一問(wèn)先通過(guò)圖解法分析出電場(chǎng)力最小的方向，然后根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件求解出電場(chǎng)力的最小值，得到最小電場(chǎng)強(qiáng)度；要準(zhǔn)確把握題中的信息，明確電勢(shì)與距離的關(guān)系、電勢(shì)與電勢(shì)差的關(guān)系．