Question

8．如圖所示，在方向豎直向上的磁感應(yīng)強度為 B 的勻強磁場中有兩條光滑固定 的平行金屬導(dǎo)軌 MN．PQ，導(dǎo)軌足夠長，間距為 L，其電阻不計，導(dǎo)軌平面與磁場垂直．a(chǎn)b．cd 為兩根垂直于導(dǎo)軌水平放置的金屬棒，其接入回路中的電阻均為 R，質(zhì)量均為m．與金屬導(dǎo)軌平行的水平細(xì)線一端固定，另一端與 cd 棒的中點連接，細(xì)線能承受的最大拉力為 T，一開始細(xì)線處于伸直狀態(tài)，ab 棒在平行導(dǎo)軌的水平拉力 F（未知）的作用下以加速 a 向右做 勻加速直線運動，兩根金屬棒運動時始終與導(dǎo)軌接觸良好且與導(dǎo)軌垂直．求：
（1）經(jīng)多長時間細(xì)線被拉斷？
（2）若在細(xì)線被拉斷瞬間撤去拉力 F，兩根金屬棒之間距離增量△x 的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）ab棒向右做勻加速運動時，穿過回路abcd的磁通量增大，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流，cd受到向右的安培力作用，當(dāng)安培力大小等于細(xì)線的最大拉力時，細(xì)線被拉斷．根據(jù) E=BLv、I=$\frac{E}{2R}$、F=BIL，v=at，推導(dǎo)出安培力F的表達(dá)式，細(xì)線剛被拉斷時F=T，即可求得t；
（2）在細(xì)線被拉斷瞬間撤去拉力F后，cd棒由于受到向右的安培力也向右開始做加速運動，cd切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，回路中總的感應(yīng)電動勢將減小，感應(yīng)電流減小，則ab做加速度逐漸減小的減速運動，cd做加速度逐漸減小的加速運動，最終兩者以共同速度v′做勻速直線運動．根據(jù)系統(tǒng)動量守恒求得兩棒最終勻速運動時的速度．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電流公式I=$\frac{q}{t}$，求得通過兩棒的電量q，再對cd棒運用動量定理求解．

解答 解：（1）當(dāng)細(xì)線拉力達(dá)到最大時，cd棒所受的安培力F_A=T，
根據(jù)${F}_{A}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$得，ab棒的速度v=$\frac{2RT}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
則經(jīng)歷的時間t=$\frac{v}{a}=\frac{2RT}{{B}^{2}{L}^{2}a}$．
（2）撤去F后，兩棒組成的系統(tǒng)動量守恒，規(guī)定向右為正方向，設(shè)兩棒勻速運動時的相同速度為v′，據(jù)動量守恒得：
mv=2mv′
解得v′=$\frac{v}{2}$=$\frac{RT}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律得：$\overline{I}=\frac{△Φ}{△t•2R}$，
通過電荷量$q=\overline{I}△t=\frac{BL△x}{2R}$，
對cd棒，由動量定理得：$B\overline{I}L△t$═mv′
聯(lián)立上兩式得：△x=$\frac{2mT{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．
答：（1）經(jīng)$\frac{2RT}{{B}^{2}{L}^{2}a}$時間細(xì)線被拉斷；
（2）兩根金屬棒之間距離增量△x 的最大值是=$\frac{2mT{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題雙桿模型，當(dāng)cd棒不動時，只有ab棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，關(guān)鍵要會推導(dǎo)安培力和運用動量定理求△x．當(dāng)cd棒也運動時，關(guān)鍵要正確分析兩棒的運動情況．