Question

9．如圖所示為研究電子槍中電子在電場中運動的簡化模型示意圖．在Oxy平面的ABCD區(qū)域內，存在兩個場強大小均為E的勻強電場I和II，兩電場的邊界均是邊長為L的正方形（不計電子所受重力）．
（1）在該區(qū)域AB邊的中點處由靜止釋放電子，求電子離開ABCD區(qū)域的位置．
（2）在電場I區(qū)域內適當位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區(qū)域左下角D處離開，求所有釋放點位置坐標滿足的關系式．
（3）若將左側電場II整體水平向右移動$\frac{L}{n}$（n≥1），仍使電子從ABCD區(qū)域左下角D處離開（D不隨電場移動），求在電場I區(qū)域內由靜止釋放電子的所有位置．

Answer 1

分析 （1）電子在AB邊的中點處由靜止釋放，受到水平向左的電場力作用而做勻加速直線運動，由動能定理可求出電子進入電場II時的速度．電子從CD區(qū)域右側中點進入?yún)^(qū)域Ⅲ勻強電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，由牛頓第二定律和運動學公式結合求出電子離開ABCD區(qū)域的位置．
（2）在電場I區(qū)域內適當位置由靜止釋放電子，電子先在電場Ⅰ中做勻加速直線運動，進入電場Ⅱ后做類平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式結合求出位置x與y的關系式．

解答 解：（1）設電子的質量為m，電量為e，電子在電場I中做勻加速直線運動，設射出區(qū)域I時的為v₀．
根據(jù)動能定理得 eEL=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$
進入電場II后電子做類平拋運動，假設電子從CD邊射出，出射點縱坐標為y，有$\frac{L}{2}$-y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，a=$\frac{eE}{m}$，t=$\frac{L}{{v}_{0}}$
解得：y=$\frac{L}{4}$，即電子離開ABCD區(qū)域的位置坐標為（-2L，$\frac{L}{4}$）．
（2）設釋放點在電場區(qū)域I中，其坐標為（x，y），在電場I中電子被加速到v₁，然后進入電場II做類平拋運動，并從D點離開，
有：eEx=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$，y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}\frac{eE}{m}（\frac{L}{{v}_{1}}）^{2}$
以上兩式聯(lián)立解得：xy=$\frac{{L}^{2}}{4}$，即在電場I區(qū)域內滿足方程的點即為所求位置．
（3）設電子從（x，y）點釋放，在電場I中加速到v₂，進入電場II后做類平拋運動，在高度為y′處離開電場II時的情景與（2）中類似，然后電子做勻速直線運動，經(jīng)過D點，則有：$eEx=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，$y-y′=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{eE{L}^{2}}{2md{v}_{2}^{2}}$，
${v}_{y}=at=\frac{eEL}{m{v}_{2}}$，
得：$y′={v}_{y}\frac{L}{n{v}_{2}}$
以上各式解得：xy=${L}^{2}（\frac{1}{2n}+\frac{1}{4}）$，即在電場I區(qū)域內滿足方程的點即為所求位置．
答：（1）在該區(qū)域AB邊的中點處由靜止釋放電子，電子從（（-2L，$\frac{L}{4}$）離開ABCD區(qū)域．
（2）在電場I區(qū)域內適當位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區(qū)域左下角D處離開，所有釋放點為滿足xy=$\frac{{L}^{2}}{4}$的位置．
（3）若將左側電場II整體水平向右移動$\frac{L}{n}$（n≥1），仍使電子從ABCD區(qū)域左下角D處離開（D不隨電場移動），
在電場I區(qū)域內由靜止釋放電子的所有位置為xy=${L}^{2}（\frac{1}{2n}+\frac{1}{4}）$，

點評 本題考核了帶電粒子在簡化的電子槍模型中的運動情況，是一道拓展型試題，與常見題所不同的是，一般試題是已知電子的出發(fā)點，然后求電子在電場作用下運動過程中的軌跡或離開電場的出射點位置，而本題則是反其道而行之，是規(guī)定了電子的出射點，要反推出在何處發(fā)出電子才能滿足所述要求．從內容看，該題涉及的是電子在電場中的運動，這部分知識學生相對比較熟悉，也是經(jīng)常訓練的題型之一，只不過本題作了拓展．