Question

20．在水平面上，平放一半徑為R的光滑半圓管道，管道處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，另有一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球．
（1）當(dāng)小球從管口沿切線方向以某速度射入，運(yùn)動(dòng)過程中恰不受管道側(cè)壁的作用力，求此速度v₀；
（2）現(xiàn)把管道固定在豎直面內(nèi)，且兩管口等高，磁場仍保持和管道平面垂直，如圖所示，空間再加一個(gè)水平向右、場強(qiáng)E=$\frac{mg}{q}$的勻強(qiáng)電場（未畫出），若小球仍以v₀的初速度沿切線方向從左邊管口射入，求小球：①運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中動(dòng)能的增量；②在管道運(yùn)動(dòng)全程中獲得的最大速度．

Answer 1

分析 （1）小球在圓軌道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，恰不受管道側(cè)壁的作用力，則小球受到的洛侖茲力提供向心力，由此可以算出小球的初速度．
（2）當(dāng)把管道從豎直面固定在豎直面、磁場和電場方向也做相應(yīng)變化，同樣以相同的速度v₀進(jìn)入管道，由動(dòng)能定理就能求出小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)動(dòng)能的增量；至于最大速度可以參照僅在重力場中的情況進(jìn)行對比，當(dāng)?shù)刃А爸亓Α弊龉ψ疃鄷r(shí)，速度最大，同樣由動(dòng)能定理求出最大速度，本解用兩種方法來求，第一種方法作為參考．

解答 解：（1）小球在水平面上只受到洛侖茲力作用，故$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
  解得：v₀=$\frac{qBR}{m}$
（2）小球在管道運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛侖茲力始終不做功，對小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理：
   mgR+qER=△E_k
   由題意：$E=\frac{mg}{q}$
  聯(lián)合以上兩式得：動(dòng)能的增量△E_k=2mgR
求最大速度方法一：
當(dāng)小球到達(dá)管道中方位角為θ的位置（如圖所示）進(jìn)，應(yīng)用動(dòng)能定理有：
$mgRsinθ+Eq（R+Rcosθ）=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
  即：${v}^{2}=\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{{m}^{2}}+2gR+2gR（sinθ+cosθ）$
對函數(shù)y=sinθ+cosθ求極值，可得θ=45°時(shí)，y_max=$\sqrt{2}$
所以v_m=$\sqrt{\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{{m}^{2}}+（2+2\sqrt{2}）gR}$
求最大速度方法二：
如圖所示，根據(jù)場的疊加原理，小球所受的等效重力為：
   $mg′=\sqrt{（mg）^{2}+（Eq）^{2}}\sqrt{2}mg$
   $tanφ=\frac{mg}{Eq}=1$  
即  φ=45°
  小球在等效重力場的最低點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)小球到達(dá)管道中方位角為θ=∅=45°時(shí)，
速度最大．
  由動(dòng)能定理：
  $mgRsinθ+qE（R+Rsinθ）=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
 解得：v_m=$\sqrt{\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{{m}^{2}}+（2+2\sqrt{2}）gR}$
答：（1）當(dāng)小球從管口沿切線方向以某速度射入，運(yùn)動(dòng)過程中恰不受管道側(cè)壁的作用力，求此速度v₀為$\frac{qBR}{m}$．
（2）現(xiàn)把管道固定在豎直面內(nèi)，且兩管口等高，磁場仍保持和管道平面垂直，如圖所示，空間再加一個(gè)水平向右、場強(qiáng)E=$\frac{mg}{q}$的勻強(qiáng)電場（未畫出），若小球仍以v₀的初速度沿切線方向從左邊管口射入，則小球：①運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中動(dòng)能的增量為2mgR；②在管道運(yùn)動(dòng)全程中獲得的最大速度$\sqrt{\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{{m}^{2}}+（2+2\sqrt{2}）gR}$．

點(diǎn)評 本題的靚點(diǎn)有二：①是小球在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中水平管道內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對圓管道的側(cè)壁均無壓力，則表明小球受到的洛侖茲力提供向心力，于是可以求出進(jìn)入管道的速度；②是當(dāng)把管道和磁場、電場方向調(diào)整方向后，求最大速度，此時(shí)可以用等效的方法--把重力和電場力等效為一個(gè)“力”進(jìn)行處理．