Question

8．如圖所示，豎直平行正對(duì)放置的帶電金屬板A、B，B板中心的小孔正好位于平面直角坐標(biāo)系xoy的O點(diǎn)；y軸沿豎直方向；在x＞0的區(qū)域內(nèi)存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E=$\frac{4}{3}$×10³V/m；比荷為1.0×10⁵C/kg的帶正電的粒子P從A板中心O′處?kù)o止釋放，其運(yùn)動(dòng)軌跡恰好經(jīng)過(guò)M（$\sqrt{3}$，1）點(diǎn)；粒子P的重力不計(jì)，試求：
（1）金屬板AB之間的電勢(shì)差U_AB；
（2）若在粒子P經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的同時(shí)，在y軸右側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)中某點(diǎn)由靜止釋放另一帶電微粒Q，使PQ恰能運(yùn)動(dòng)中相碰；假設(shè)Q的質(zhì)量是P的2倍、帶電情況與P相同；Q的重力及PQ之間的相互作用力均忽略不計(jì)；求粒子Q所有釋放點(diǎn)的集合．

Answer 1

分析 （1）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入右側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的速度${v}_{0}^{\;}$，進(jìn)入右側(cè)電場(chǎng)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求${v}_{0}^{\;}$，再由動(dòng)能定理求金屬板AB間的電勢(shì)差；
（2）由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系可得粒子Q所有釋放點(diǎn)的集合

解答 解：（1）設(shè)粒子P的質(zhì)量為m、帶電量為q，從O點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)的速度大小為v₀；由題意可知，粒子P在y軸右側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)；
設(shè)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M（$\sqrt{3}$，1）點(diǎn)歷時(shí)為t₀，由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)可得：$x={v}_{0}^{\;}t$
$y=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2}×1{0}_{\;}^{4}m/s$
在金屬板AB之間，由動(dòng)能定理：$q{U}_{AB}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：U_AB=1000V
（2）設(shè)P、Q在右側(cè)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度分別為a₁、a₂；Q粒子從坐標(biāo)N（x，y）點(diǎn)釋放后，經(jīng)時(shí)間t與粒子P相遇；
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系可得：
對(duì)于P：Eq=ma₁
對(duì)于Q：Eq=2ma₂
x=v₀t
$\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}=y+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
解得：$y=\frac{1}{6}{x}_{\;}^{2}$，其中x＞0
即粒子Q釋放點(diǎn)N（x，y）坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程為：$y=\frac{1}{6}{x}_{\;}^{2}$其中x＞0
答：（1）金屬板AB之間的電勢(shì)差${U}_{AB}^{\;}$為1000V；
（2）若在粒子P經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的同時(shí)，在y軸右側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)中某點(diǎn)由靜止釋放另一帶電微粒Q，使PQ恰能運(yùn)動(dòng)中相碰；假設(shè)Q的質(zhì)量是P的2倍、帶電情況與P相同；Q的重力及PQ之間的相互作用力均忽略不計(jì)；粒子Q所有釋放點(diǎn)的集合$y=\frac{1}{6}{x}_{\;}^{2}$，其中x＞0

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的加速和偏轉(zhuǎn)問(wèn)題，在加速電場(chǎng)中，一般用動(dòng)能定理處理；在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解為垂直電場(chǎng)線(xiàn)的勻速運(yùn)動(dòng)和沿電場(chǎng)線(xiàn)的勻加速運(yùn)動(dòng)處理．