Question

17．如圖所示，不可伸長的輕繩穿過光滑豎直固定細(xì)管，細(xì)管長為l，兩端拴著質(zhì)量分別為m、2m的小球A和小物塊B，拉著小球A使它停在管的下端，這時物塊B離管的下端距離為l，管的下端離水平地面的距離為2l，拉起小球A，使繩與豎直方向成一定夾角，給小球A適當(dāng)?shù)乃�平速度，使它在水平面�?nèi)做圓周運(yùn)動，上述過程中物塊B的位置保持不變，已知重力加速度為g．
（1）求繩與豎直方向夾角θ和小球A做圓周運(yùn)動的角速度w₁；
（2）在小球A做圓周運(yùn)動時剪斷輕繩，求小球A第一次落地點(diǎn)到物塊B落地點(diǎn)的距離s；
（3）若小球A從管的下端拉起時帶動物塊B上移，B到管下某位置時使小球A在水平面內(nèi)做角速度w₂的圓周運(yùn)動，求整個過程中人對A、B系統(tǒng)做的功W．

Answer 1

分析 （1）對A球分析，由力的平衡條件和牛頓第二定律列式聯(lián)立可求繩與豎直方向夾角θ和小球A做圓周運(yùn)動的角速度w₁；
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律和幾何關(guān)系可求小球A第一次落地點(diǎn)到物塊B落地點(diǎn)的距離；
（3）由力的平衡條件和牛頓第二定律并結(jié)合功能關(guān)系列式聯(lián)立可求整個過程中人對A、B系統(tǒng)做的功W．

解答 解：（1）小球A在重力和輕繩的拉力作用下在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，則：
輕繩的拉力為：T=2mg
豎直方向受力平衡：Tcosθ-mg=0
水平方向由牛頓第二定律得：Tsinθ=mω₁²lsinθ
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：θ=60⁰，ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$．
（2）在小球A做圓周運(yùn)動時剪斷輕繩，A做平拋運(yùn)動，設(shè)平拋運(yùn)動的時間為t，則
豎直方向上有：$\frac{5}{2}$l=$\frac{1}{2}$gt²
平拋的初速度：v₁=ω₁lsinθ
由幾何關(guān)系有：s=$\sqrt{（{v}_{1}t）^{2}+（lsinθ）^{2}}$
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：s=$\frac{\sqrt{33}}{2}l$
（3）設(shè)B物體位置上移x，小球A做圓周運(yùn)動時輕繩與豎直方向的夾角為α，則
豎直方向受力平衡：Tcosα-mg=0
水平方向由牛頓第二定律得：Tsinα=mω₂²（l+x）sinα
解得：x=$\frac{2g}{{ω}_{2}^{2}}$-l
由功能關(guān)系有：W=2mgx+mg[l-（l+x）cosα]+$\frac{1}{2}$m[（l+x）ω₂sinα]²
解得：W=$\frac{9m{g}^{2}}{2{ω}_{2}^{2}}$-mgl
答：（1）繩與豎直方向夾角為60⁰；小球A做圓周運(yùn)動的角速度為$\sqrt{\frac{2g}{l}}$；
（2）小球A第一次落地點(diǎn)到物塊B落地點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{33}}{2}l$；
（3）整個過程中人對A、B系統(tǒng)做的功為$\frac{9m{g}^{2}}{2{ω}_{2}^{2}}$-mgl．

點(diǎn)評 對于圓錐擺問題，關(guān)鍵分析小球的受力情況，確定其向心力，運(yùn)用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動的知識結(jié)合解答，注意聯(lián)系計(jì)算能力．