Question

16．如圖所示，ABC、DEF為同一豎直平面內的兩條固定光滑軌道，其中ABC的末端水平，DEF為直徑豎直方向的半圓形軌道（r=0.5m）．一質量m=1kg的滑塊（可視為質點）從軌道ABC上的A點由靜止釋放，若滑塊經C點后恰能沿軌道DEF做圓周運動，g取10m/s²，求：
（1）滑塊釋放點A距C點的豎直高度H；
（2）滑塊到達軌道DEF的最低點F時對軌道的壓力大小F_N；
（3）若軌道DEF的最低點與水平傳送帶的左端平滑相切，水平傳送帶長L=5m，以速度v₀=3m/s沿順時針方向勻速運行，滑塊與傳送帶間的滑動摩擦因數μ=0.2，求滑塊在傳動帶上運動過程中系統(tǒng)產生的內能．

Answer 1

分析 （1）滑塊經C點后恰能沿軌道DEF做圓周運動，在C點，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出滑塊經過C點的速度，根據動能定理得出H．
（2）滑塊由D至F得過程中只有重力做功，由動能定理求出小球到達F點的速度，通過牛頓第二定律和第三定律求出小球到達F點時對軌道的壓力．
（3）根據牛頓第二定律和運動學公式求出滑塊與傳送帶間相對位移，再求產生的內能．

解答 解：（1）設滑塊經C處后恰能沿軌道DEF做圓周運動的速度為v_c，C、D為同一位置，在D點小球的重力提供向心力，則：
 $mg=\frac{mv_c^2}{r}$…①
滑塊從軌道ABC上的A點由靜止釋放的過程中，受到重力、支持力，支持力不做功，由動能定理得：
  $mgH=\frac{1}{2}mv_c^2$…②
聯立①②兩式代入數據得：H=0.25m…③
（2）滑塊由D至F得過程中只有重力做功，由動能定理得：
  $mg•2r=\frac{1}{2}mv_F^2-\frac{1}{2}mv_c^2$…④
在F點由牛頓第二定律得：F_N′-mg=m$\frac{{v}_{F}^{2}}{r}$…⑤
有牛頓第三定律知滑塊到達F點時對軌道的壓力大�。�${F_N}=F_N^$′，…⑥
聯立①④⑤⑥代入數據得：F_N=60N
（3）由①④得v_F=5m/s＞v₀，故滑塊在傳送帶上開始做勻減速直線運動，加速度為a，得：$a=\frac{f}{m}=\frac{μmg}{m}=μg$
經時間t與傳送帶速度大小相等：$t=\frac{{{v_0}-{v_F}}}{a}$
滑塊運行的位移x為：x=$\frac{{v}_{F}+{v}_{0}}{2}t$
解得 x=4m＜L
在此過程中，傳送帶的位移x，為：x′=v₀t
可得 x′=3m
因此，這個過程中產生的內能Q為：Q=f•△x=μmg（x-x′）
代入數據得：Q=2J
答：（1）滑塊釋放點A距C點的豎直高度H是0.25m；
（2）滑塊到達軌道DEF的最低點F時對軌道的壓力大小F_N是60N；
（3）滑塊在傳動帶上運動過程中系統(tǒng)產生的內能是2J．

點評 本題的關鍵是要搞清滑塊的運動情況，把握每個過程和狀態(tài)所遵守的物理規(guī)律，要知道摩擦產生的內能與相對位移有關．