Question

19．為了研究過(guò)山車的原理，某興趣小組提出了下列設(shè)想：如圖所示，取一個(gè)與水平方向夾角為θ=37°、長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過(guò)水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個(gè)軌道除AB段以外都是光滑的．其AB與BC軌道以微小圓弧相接．一個(gè)小物塊以初速度v₀=4.0m/s從某一高處水平拋出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向恰好沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下，已知物體與傾斜軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.50．（g=10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80），求：
（1）小物塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度
（2）要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回到傾斜軌道AB之間，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）由題意可知物體平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程的末速度方向，則由運(yùn)動(dòng)的合成與分解可求得合速度；
（2）物體能通過(guò)最高點(diǎn)，則應(yīng)保證重力充當(dāng)向心力，由臨界條件可求得最高點(diǎn)的速度，則由動(dòng)能定理可求得圓弧半徑的條件；
（3）要使物體能回到AB段中，小球應(yīng)無(wú)法通過(guò)最高點(diǎn)，則由動(dòng)能定理可求得臨界半徑，則可求得豎直圓軌道的半徑條件．

解答 解：（1）小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間 t 到達(dá)A處時(shí)，令下落的高度為h，水平分速度v₀，豎直速度為v_y．
小物塊恰好沿斜面AB方向滑下，
則tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
得v_y=3 m/s，
所以小物塊到A點(diǎn)的速度為 v_A=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s．
（2）物體落在斜面上后，受到斜面的摩擦力F _f=μF_N=μmgcos37°
設(shè)物塊進(jìn)入圓軌道到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)有最小速度v₁．
此時(shí)物塊受到的重力恰好提供向心力，令此時(shí)的半徑為 R₀，
則 mg=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
物塊從進(jìn)入A點(diǎn)到圓軌道最高點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：
 mg（Lsin37°-2R₁）-μmgcos37°•L=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_A²．
聯(lián)立上式，解得 R₁=0.66m，
要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，圓弧軌道的半徑滿足 
  R≤0.66m．
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則物塊上升的高度須小于或等于某個(gè)值R₂，物塊從進(jìn)入A點(diǎn)到沿圓軌道上升R₂，由動(dòng)能定理得
   mgLsin37°-μmgcos37°•L-mgR₂=0-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得 R₂=1.65m
物塊能夠滑回傾斜軌道 AB，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足 R≥1.65m
答：
（1）小物塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度是5m/s．
（2）要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿足：R≤0.66m．
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回到傾斜軌道AB之間，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足 R≥1.65m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件及動(dòng)能定理的應(yīng)用，要求學(xué)生能明確本題的物理過(guò)程，并能分段應(yīng)用所學(xué)物理規(guī)律求解；同時(shí)注意對(duì)題意的把握．