Question

7．兩根長(zhǎng)直軌道與一半徑為R的半圓型圓弧軌道相接于A、C兩點(diǎn)，B點(diǎn)為軌道 最低點(diǎn)，O為圓心，軌道各處光滑且固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量均為m的兩小環(huán)P、Q用長(zhǎng)為$\sqrt{2}$R的輕桿連接在一起，套在軌道上．將P、Q兩環(huán)從距B點(diǎn)豎直距離為2R處由靜止釋放，假設(shè)整個(gè)過程中輕桿和軌道始終不接觸，重力加速度為g，求：
（1）P環(huán)恰好到A位置時(shí)，P環(huán)的速度；
（2）P環(huán)恰好到B位置時(shí)，P環(huán)的速度；
（3）P環(huán)運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）輕桿下滑過程，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，確定出兩環(huán)下降的高度，即可由求得P環(huán)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）P環(huán)恰好到B位置時(shí)，兩環(huán)沿桿方向的速度大小相等，得到兩環(huán)速度的關(guān)系，結(jié)合系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解；
（3）當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)心下降到最低處即輕桿水平時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到的速度最大，再由機(jī)械能守恒求解．

解答 解：（1）P環(huán)恰好到A位置時(shí)，P、Q兩環(huán)的速度相同，由機(jī)械能守恒定律可得：2mgR=$\frac{1}{2}•$2mv²
得：v=$\sqrt{2gR}$
（2）P環(huán)落到B位置時(shí)，P、Q丙環(huán)沿桿方向的分速度相同，根據(jù)幾何關(guān)系有：
   v_Pcos45°=v_Qcos45°
根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律得：
  mg•2R+mg（$\sqrt{2}$+1）R=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
解得 v_P=$\sqrt{（\sqrt{2}+3）gR}$
（3）P、Q兩環(huán)都在半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿桿方向的分速度相同，根據(jù)幾何關(guān)系有：
   v_Pcos45°=v_Qcos45°
可得兩球的速度始終相同，v_P=v_Q
當(dāng)輕桿恰好水平時(shí)，系統(tǒng)的重力勢(shì)能最小，兩環(huán)的速度最大．
根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：mgR（2+2$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}•2m{v}_{P}^{2}$
解得  v_P=$\sqrt{（2+2\sqrt{2}）gR}$
答：（1）P環(huán)恰好到位置時(shí)，P環(huán)的速度是$\sqrt{2gR}$；
（2）P環(huán)恰好到B位置時(shí)，P環(huán)的速度是$\sqrt{（\sqrt{2}+3）gR}$；
（3）P環(huán)運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度是$\sqrt{（2+2\sqrt{2}）gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系得到兩環(huán)的速度關(guān)系，然后根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律列方程求解即可．