Question

10．光滑水平面與一半徑為R=2.5m的豎直光滑圓軌道平滑連接如圖所示，物體可以由圓軌道底端閥門（圖中未畫出）進入圓軌道，水平軌道上有一輕質(zhì)彈簧，其左端固定在墻壁上，右端與質(zhì)量為m=0.5kg的小球A接觸但不相連，今向左推小球A壓縮彈簧至某一位置后，由靜止釋放小球A，測得小球A到達圓軌道最高點是對軌道的壓力大小為F_N=10N，g=10m/s²，（小球A可視為質(zhì)點）
（1）求彈簧的彈性勢能E_p；
（2）若彈簧的彈性勢能E_p=25J，小球進入圓軌道后閥門關(guān)閉，通過計算說明小球會不會脫離軌道．若脫離，求在軌道上何處脫離（脫離點和圓心連接與水平方向的夾角可用三角函數(shù)表示），若不能脫離，求小球?qū)�軌道的最大與最小壓力的差△F．

Answer 1

分析 對小球在軌道最高點時受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列方程求出小球在最高點時的速度，根據(jù)能量守恒定律求彈簧的彈性勢能；
若小球能通過最高點，則v≥$\sqrt{gR}$，由能量守恒定律求小球到達最高點的速度，然后與臨界速度進行比較．

解答 解： （1）小球到達最高點，由牛頓第二定律可得：
F_N+mg=m$\frac{v2}{R}$
以彈簧和小球為系統(tǒng)，由機械能守恒定律可得：
E_p=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R 
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：E_p=43.75 J．
（2）若小球恰好能夠做完整的圓周運動，則由機械能守恒定律可得：
E_p1=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R
其中mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：E_p1=31.25 J  
若速度較小，則小球在圓心以下做往復(fù)運動，也不會脫離軌道，有：
E_p2=mgR=12.5 J
綜上所述，小球不脫離圓軌道必須滿足：
E_p≥31.25 J或0＜E_p≤12.5 J．
故E_p=25 J時，小球一定會脫離圓軌道．
設(shè)小球在與圓心連線與水平方向夾角為θ處脫離軌道，速度大小為v′，可得：
mgsin θ=m$\frac{v′2}{R}$
由機械能守恒定律得：
E_p=mgR（1+sin θ）+$\frac{1}{2}$mv′²
聯(lián)立解得：sin θ=$\frac{2}{3}$．
θ=arcsin$\frac{2}{3}$
答：（1）彈簧的彈性勢能E_P為43.75J；
（2）若彈簧的彈性勢能E_P=25J，小球進入圓軌道后閥門關(guān)閉，小球會脫離圓軌道，在軌道上與圓心連線與豎直方向成arcsin$\frac{2}{3}$處脫離．

點評 本題是能量守恒與牛頓運動定律的綜合應(yīng)用，來處理圓周運動問題．利用功能關(guān)系解題的優(yōu)點在于不用分析復(fù)雜的運動過程，只關(guān)心初末狀態(tài)即可，平時要加強訓(xùn)練深刻體會這一點．