Question

如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠(yuǎn)小于板的長(zhǎng)和寬）．在兩板之間有一帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)P．已知若在A、B間加電壓U₀，則質(zhì)點(diǎn)P可以靜止平衡于A、B間．現(xiàn)在A、B 間加上如圖2所示的隨時(shí)間t變化的電壓U，在t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)P位于A、B間的中點(diǎn)處且初速為0．已知質(zhì)點(diǎn)P能在A、B之間以最大的幅度上下運(yùn)動(dòng)而不與兩板相碰，求
（1）質(zhì)點(diǎn)P的比荷（即電荷量大小與質(zhì)量的比值）
（2）t₁～t₂，t₃～t₄，t₅～t₆…時(shí)間內(nèi)的加速度大小和方向及0～t₁，t₂～t₃，t₄～t₅…時(shí)間內(nèi)的加速度大小和方向
（3）圖2中U改變的各時(shí)刻t₁、t₂、t₃及t_n的表達(dá)式．（質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始從中點(diǎn)上升到最高點(diǎn)，及以后每次從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)或從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，電壓只改變一次．）

Answer 1

分析：根據(jù)qE=mg，結(jié)合E=

U

d

，可求得電荷的比荷；
分時(shí)段對(duì)質(zhì)點(diǎn)受力分析，由牛頓第二定律結(jié)合qE=mg與E=

U

d

，求加速度大小與方向．
根據(jù)題意分時(shí)段，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來(lái)求出各自時(shí)間與間距的關(guān)系，同理求得其它時(shí)段的表達(dá)式，從而尋找規(guī)律列出表達(dá)式．

解答：解：（1）設(shè)質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為m，電量大小為q，
根據(jù)題意可知，當(dāng)AB間的電壓為U₀時(shí)，
有：q

U0

d

=mg 
解得：

q

m

=

dg

U0

（2）t₁～t₂，t₃～t₄，t₅～t₆…時(shí)間內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)P只受重力，
加速度大小為g，方向豎直向下．
0～t₁，t₂～t₃，t₄～t₅…時(shí)間內(nèi)兩板間的電壓為2U₀時(shí)，
P的加速度向上，其大小為a，
則有q

2U0

d

-mg=ma
解得：a=g
（3）0～t₁，P自A、B間的中點(diǎn)向上作初速為0的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為g，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁，P的速度變?yōu)関₁，
此時(shí)使電壓變?yōu)?，讓P在重力作用下向上作勻減速運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)過(guò)t₁′，P正好達(dá)到A板且速度變?yōu)?，
則有：v₁=gt₁  
0=v1-g

t

′ 1

   

1

2

d=

1

2

g

t

2 1

+v1

t

′ 1

-

1

2

g

t

′2 1

   
由以上各式 解得：t1=

t

′ 1

=

2

2

d g

則t1總=

2

d g

在重力作用下，P由A板處向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂，P的速度變?yōu)関₂，方向向下，
此時(shí)加上電壓使P向下勻減速運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)過(guò)t₂′，P正好達(dá)到B板且速度變?yōu)?，
故有
 v₂=gt₂
 0=v2-g

t

′ 2

 
d=

1

2

g

t

2 2

+v2

t

′ 2

-

1

2

g

t

′2 2

由以上各式可得：t2=

t

′ 2

=

d g

  
所以 t2總=(

2

+1)

d g

同理可得，t3總=(

2

+3)

d g

t4總 =(

2

+5)

d g

由以上可知規(guī)律，
(

2

+2n-3)

d g

   (n≥2)
答：（1）質(zhì)點(diǎn)P的比荷

dg

U0

；
（2）t₁～t₂，t₃～t₄，t₅～t₆…時(shí)間內(nèi)的加速度大小為g，方向豎直向下．及0～t₁，t₂～t₃，t₄～t₅…時(shí)間內(nèi)的加速度大小為g，方向豎直向上．
（3）圖2中U改變的各時(shí)刻t₁、t₂、t₃及t_n的表達(dá)式為(

2

+2n-3)

d g

  (n≥2)

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，是電場(chǎng)知識(shí)和力學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，分析方法與力學(xué)分析方法基本相同，關(guān)鍵在于分析粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況．