Question

如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠(yuǎn)小于板的長和寬）．在兩板的中心各有小孔O和O’，O和O’ 處在同一豎直線上．在兩板之間有一帶負(fù)電的質(zhì)點P．已知A、B間所加電壓為U₀時，質(zhì)點P所受的電場力恰好與重力平衡．現(xiàn)在A、B 間加上如圖2所示隨時間t作周期性變化的電壓U，已知周期（g為重力加速度）．在第一個周期內(nèi)的某一時刻t₀，在A、B 間的中點處由靜止釋放質(zhì)點P，一段時間后質(zhì)點P從金屬板的小孔飛出．

（1）t₀在什么范圍內(nèi)，可使質(zhì)點在飛出小孔之前運(yùn)動的時間達(dá)到最短？

（2）t₀在哪一時刻，可使質(zhì)點P從小孔飛出時的速度達(dá)到最大？

Answer 1

設(shè)質(zhì)點P的質(zhì)量為m，電量大小為q，根據(jù)題意，當(dāng)A、B間的電壓為U0時，有

         q = mg                                 ①（1分）

當(dāng)兩板間的電壓為2U0時，P的加速度向上，其大小為a1，則

         q - mg = ma1                           ②（1分）

解得 a1 = g                                     ③（1分）

當(dāng)兩板間的電壓為-2U0時，P的加速度向下，其大小為a2，則

q + mg = ma2                                        ④（1分）

解得 a2 =3g                                     ⑤（1分）

（1）要使質(zhì)點在飛出小孔之前運(yùn)動的時間達(dá)到最短，須使質(zhì)點釋放后一直向下加速運(yùn)動．設(shè)質(zhì)點釋放后經(jīng)過時間t到達(dá)小孔O’，則

                                     ⑥（1分）

     解得                               ⑦（1分）

    因為 ，所以 ，質(zhì)點到達(dá)小孔之前能一直加速．（1分）

因此要使質(zhì)點在飛出小孔之前運(yùn)動的時間達(dá)到最短，質(zhì)點釋放的時刻t0應(yīng)滿足

    即                          ⑧（1分）

（2）要使質(zhì)點P從小孔飛出時的速度達(dá)到最大，須使質(zhì)點釋放后先向上加速、再向上減速運(yùn)動，在到達(dá)小孔O時速度減為0，然后向下加速運(yùn)動直到小孔O’．

設(shè)質(zhì)點釋放后向上加速時間為t1、向上減速時間為t2，則

                            ⑨（3分）

由以上各式解得 _,        ⑩（1分）

因為，，因此質(zhì)點P能向上先加速后減速恰好到達(dá)小孔O．（1分）

設(shè)質(zhì)點從小孔O向下加速運(yùn)動到小孔O’經(jīng)過的時 間為t3，則

                               ⑾（1分）

       解得                         ⑿（1分）

因為 ，因此質(zhì)點P能從小孔O向下一直加速運(yùn)動到小孔O’，此時質(zhì)點P從小孔O’飛出時的速度達(dá)到最大．（1分）

因此，要使質(zhì)點P從小孔飛出時的速度達(dá)到最大，質(zhì)點P釋放的時刻應(yīng)為          ⒀（1分）

解析:

略