Question

如圖，在平面直角坐標系xOy內(nèi)，第Ⅰ象限存在沿y軸負方向的勻強電場，第Ⅳ象限以O(shè)N為直徑的半圓形區(qū)域內(nèi)，存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，從y軸上y=h處的M點，以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上x=2h處的P點進入磁場，最后以垂直于y軸的方向射出磁場．不計粒子重力．求
（1）在原圖上畫出粒子在電場和磁場中運動軌跡示意圖；
（2）電場強度大小E；
（3）粒子在磁場中運動的軌道半徑r；
（4）粒子從進入電場到離開磁場經(jīng)歷的總時間t．

Answer 1

分析：（1）電場中做類似平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律求出速度偏向角；
（2）根據(jù)類平拋運動的水平分位移公式和豎直分位移公式以及牛頓第二定律列式求解；
（3）對類似平拋運動運用動能定理求解出末速度，對圓周運動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解出軌道半徑；
（4）先求解出類似平拋運動的時間，然后根據(jù)幾何關(guān)系得到圓弧的圓心角，最后根據(jù)周期公式求解出圓周運動的時間，最后得到總時間．

解答：解：（1）類似平拋運動速度偏轉(zhuǎn)角的正切：tanθ=2tanα=2×

y

x

=1，故θ=45°；
故粒子的運動軌跡如右圖所示；
（2）設(shè)粒子在電場中運動的時間為t₁
x方向：2h=v₀t₁
y方向：h=

1

2

at₁²
根據(jù)牛頓第二定律：Eq=ma
聯(lián)立以上三式，解得：E=

m v 2 0

2qh

故電場強度為

m v 2 0

2qh

．
（3）類平拋運動過程，根據(jù)動能定理：Eqh=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²
將E的表達式代入上式，得：v=

2

v₀
由：Bqv=m

v2

r

得：r=

2 mv0

Bq

故圓弧的半徑為

2 mv0

Bq

．
（4）粒子在電場中運動的時間：t₁=

2h

v0

粒子在磁場中運動的周期：T=

2πr

v

=

2πm

Bq

根據(jù)粒子入射磁場時與x軸成45°，射出磁場時垂直于y軸，可求出粒子在磁場中運動的圓弧所對的圓心角為135°．
故粒子在磁場中運動的時間為：t₂=

3

8

T
求出 t=t₁+t₂=

2h

v0

+

3πm

4Bq

故粒子的運動時間為

2h

v0

+

3πm

4Bq

．
答：（1）粒子的運動軌跡如右圖所示；
（2）電場強度為

m v 2 0

2qh

．
（3）圓弧的半徑為

2 mv0

Bq

．
（4）粒子的運動時間為

2h

v0

+

3πm

4Bq

．

點評：本題關(guān)鍵是明確粒子的運動，畫出軌跡，然后結(jié)合幾何關(guān)系，分為類似平拋運動和勻速圓周運動進行分析計算．