Question

9．一個輕質彈簧的勁度系數(shù)為k，一端固定，另一端在力的作用下發(fā)生的形變量為x，已知克服彈力所做的功等于彈簧彈性勢能的增加量．（以上過程均在彈簧的彈性限度內）
（1）證明彈簧發(fā)生的形變量為x時，其具有的彈性勢能為E_r=$\frac{1}{2}$kx²．
（2）若將彈簧豎直放置且下端固定在地面上，現(xiàn)有一個質量為m的小球從距彈簧上端h處由靜止開始下落，并壓縮彈簧，求小球在壓縮彈簧過程中的最大速度v_n．
（3）在第（2）問中，豎直彈簧的上端固定一個質量為M的木板并處于靜止，將質量為m的小球從距彈簧上端h=0.8m處由靜止開始下落，并與木板發(fā)生彈性碰撞，碰撞時間極短，且M=3m，g=10m/s²．求小球彈起的高度H．
（4）在第（3）問中個，若m、k均未知，且小球和木板在第一次碰撞后又在同一位置發(fā)生第二次迎面的碰撞，此后的每次碰撞均在該位置，以豎直向下為正方向，試在圖示的坐標系中作出小球從釋放開始到第三次碰撞的v-t圖象．（標出刻度值）

Answer 1

分析 （1）作出彈力與形變量之間的關系圖象，則圖象與坐標軸圍城的面積表示彈力的負功，根據(jù)克服彈力所做的功等于彈簧彈性勢能的增加量得到彈簧發(fā)生的形變量為x時，其具有的彈性勢能；
（2）當加速度為零時，速度最大，據(jù)小球與彈簧構成的系統(tǒng)機械能守恒得到小球在壓縮彈簧過程中的最大速度的表達式；
（3）彈性碰撞動量守恒、機械能守恒，可得碰撞后的小秋的速度，由勻變速運動的規(guī)律可得小球彈起的高度H；
（4）由運動學規(guī)律可求得兩球碰撞所用時間，再由動量守恒和機械能守恒可求得碰后的速度，根據(jù)時間和速度可作出對應的v-t圖象．

解答 解：（1）彈簧的彈力F與形變量x的關系如圖所示；
將彈簧的形變量x分割為無數(shù)小段，每段可看成恒力做功，則有：
Wi=Fi△xi
將所有的功相加可得：
W=$\sum_{\;}^{\;}{F}_{i}△{x}_{i}$
由圖可知，W為F-x圖象和橫坐軸所圍成的面積大��；
故W=$\frac{1}{2}$Fx=$\frac{1}{2}kx$•x=$\frac{1}{2}$kx²；
故E_P=$\frac{1}{2}$kx²；
（2）小球運動到平衡位置時速度最大，則有：
mg=kx
由能量守恒可得：
mg（h+x）=$\frac{1}{2}$kx²+$\frac{1}{2}$mv_m²
聯(lián)立解得：v_m=$\sqrt{2g（h+\frac{mg}{2k}）}$
（3）小球與木板相碰撞前速度為v₀=$\sqrt{2gh}$=4m/s；
小球與木板發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動量守恒定律和能量守恒可得：
mv₀=mv₁+Mv₂；
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得：v₁=-$\frac{1}{2}$v₀=-2m/s；
v₂=$\frac{1}{2}$v₀=2m/s；
小球上升的高度H=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$\frac{4}{20}$=0.2m；
（4）小球從釋放到第一次碰撞的時間t₁=$\frac{{v}_{0}}{g}$=$\frac{4}{10}$=0.4s；
小球從第一次碰撞到第二次碰撞的時間t₂=$\frac{-2{v}_{1}}{g}$=$\frac{-4}{10}$=0.4s；
設第二次碰撞后小球和板后速度分別為v′1、v′2；則有：
m（-v₁）+M（-v₂）=mv′₁+Mv′₂
$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²=$\frac{1}{2}$mv′₁²+$\frac{1}{2}$Mv′₂²
聯(lián)立解得v₁′=-v₀=-4m/s；v′₂=0
故第二次碰撞到第三次碰撞的時間t₃=2t₁=0.8s
對應的圖象如圖所示；
答：（1）證明如上；
（2）小球在壓縮彈簧過程中的最大速度為$\sqrt{2g（h+\frac{mg}{2k}）}$
（3）小球彈起的高度H為0.2m；
（4）如右圖所示．

點評 本題綜合考查了動量守恒、功能關系以及彈性勢能等，要注意認真審題，明確題意并掌握相應的物理過程，從而確定物理規(guī)律的正確應用；本題難度較大，對學生綜合能車要求較高．