Question

11．如圖所示是一寬度D長條形區(qū)域（高度足夠長），在虛線區(qū)域內(nèi)同時存在豎直方向的勻強(qiáng)電場和垂直紙面方向的勻強(qiáng)磁場．一束完全相同的帶電粒子（重力不計）以某一水平初速度從O點(diǎn)垂直左邊界射入該區(qū)域，第一次電場和磁場同時存在，粒子恰好做直線運(yùn)動．若撤去條形區(qū)域內(nèi)的磁場僅保留豎直方向的電場，仍以原來的初速度水平入射．粒子速穿過電場到達(dá)另一邊界時在豎直方向偏轉(zhuǎn)了H．若撤去條形區(qū)域內(nèi)電場僅保留磁場，仍以相同的速度入射．求：
（1）當(dāng)D=8cm，H=3.2cm，粒子束在磁場里運(yùn)動，其豎直方向的偏移量？
（2）若條形區(qū)域?qū)挾葹镈，撤去磁場僅留電場時，粒子在豎直方向的偏轉(zhuǎn)量為H，則撤去電場僅留磁場時在豎直方向的偏轉(zhuǎn)量又是多少？

Answer 1

分析 （1）由電場和磁場共同作用時受力平衡，根據(jù)撤去磁場時做類平拋運(yùn)動的偏轉(zhuǎn)量求得撤去電場時的做圓周運(yùn)動的半徑，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系求得偏移量；
（2）根據(jù)半徑表達(dá)式，由半徑和D的關(guān)系得到粒子出射邊，進(jìn)而由幾何關(guān)系求得偏轉(zhuǎn)量．

解答 解：設(shè)粒子入射速度為v，磁場、電場同時存在時，粒子做直線運(yùn)動，所以，粒子速度不變，粒子受力平衡，即Bvq=qE；
撤去磁場后，粒子只受電場力作用，做類平拋運(yùn)動，所以，由水平方向運(yùn)動可得：D=vt，故運(yùn)動時間$t=\frac{D}{v}$，那么偏轉(zhuǎn)量$H=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}=\frac{qE{D}^{2}}{2m{v}^{2}}$；
撤去電場后，粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，故有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{qB}=\frac{m{v}^{2}}{qE}=\frac{{D}^{2}}{2H}$；
（1）當(dāng)D=8cm，H=3.2cm，粒子束在磁場里運(yùn)動的半徑$R=\frac{{D}^{2}}{2H}=20cm$，故由幾何關(guān)系可知偏移量$y=R-\sqrt{{R}^{2}-{D}^{2}}=20-4\sqrt{21}（cm）=1.7cm$；
（2）若條形區(qū)域?qū)挾葹镈，撤去磁場僅留電場時，粒子在豎直方向的偏轉(zhuǎn)量為H，則撤去電場僅留磁場時；
當(dāng)$R=\frac{{D}^{2}}{2H}＜D$，即$H＞\frac{1}{2}D$時，粒子從左側(cè)離開磁場，偏離量${y}_{1}=2R=\frac{{D}^{2}}{H}$；
當(dāng)$R=\frac{{D}^{2}}{2H}≥D$，即$H≤\frac{1}{2}D$時，粒子從右側(cè)離開磁場，偏轉(zhuǎn)量${y}^{2}=R-\sqrt{{R}^{2}-{D}^{2}}=\frac{{D}^{2}}{2H}[1-\sqrt{1-（\frac{2H}{D}）^{2}}]$；
答：（1）當(dāng)D=8cm，H=3.2cm，粒子束在磁場里運(yùn)動，其豎直方向的偏移量為1.7cm；
（2）若條形區(qū)域?qū)挾葹镈，撤去磁場僅留電場時，粒子在豎直方向的偏轉(zhuǎn)量為H，則撤去電場僅留磁場時在豎直方向的偏轉(zhuǎn)量為$\frac{{D}^{2}}{2H}[1-\sqrt{1-（\frac{2H}{D}）^{2}}]$．

點(diǎn)評 帶電粒子的運(yùn)動問題，加速電場一般由動能定理或勻加速運(yùn)動規(guī)律求解；偏轉(zhuǎn)電場由類平拋運(yùn)動規(guī)律求解；磁場中的運(yùn)動問題則根據(jù)圓周運(yùn)動規(guī)律結(jié)合幾何條件求解．