Question

19．如圖所示，置于平臺(tái)上的木板與一水平傳送帶靠近且上表面在同一水平面上，傳送帶左端置于一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=1kg的煤塊，三者皆處于靜止?fàn)顟B(tài)，木板質(zhì)量M=5kg且足夠長(zhǎng)．煤塊與傳送帶以及木板上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)皆為μ=0.2．某時(shí)刻傳送帶開始順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，加速度為a₁=4m/s²，當(dāng)速度達(dá)到v=3m/s后開始勻速運(yùn)動(dòng)．煤塊先是相對(duì)傳送帶滑動(dòng)留下一段黑色痕跡而后相對(duì)傳送帶靜止，最后滑上木板．取g=10m/s²，求：

（1）求煤塊相對(duì)傳動(dòng)帶運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁；
（2）如果平臺(tái)光滑，計(jì)算煤塊與木板摩擦產(chǎn)生的熱量Q，以及煤塊從滑上木板至與木板相對(duì)靜止過程中摩擦力對(duì)煤塊的沖量I；
（3）如果平臺(tái)不光滑，且在煤塊滑上木板的瞬間給木板施加水平向右的恒力F，此恒力作用t=0.5s時(shí)煤塊與木板速度恰好相同，求此刻煤塊在木板上留下的黑色痕跡的長(zhǎng)度△s．

Answer 1

分析 （1）煤塊在傳送帶上，先向右勻加速運(yùn)動(dòng)至速度為3m/s，以后煤塊向右勻速運(yùn)動(dòng)．運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解時(shí)間．
（2）如果平臺(tái)光滑，煤塊在木板上滑動(dòng)的過程中二者的動(dòng)量守恒，由此求出共同速度，然后由功能關(guān)系求出產(chǎn)生的熱量，由動(dòng)量定理求出摩擦力對(duì)煤塊的沖量；
（3）如果平臺(tái)不光滑，對(duì)煤塊分別進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律求出加速度，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出二者之間的相對(duì)位移．

解答 解：（1）設(shè)煤塊向右加速至速度相同所用時(shí)間為t，勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a₂，由牛頓第二定律得：
 a₂=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.2×10=2m/s²
又：v=a₂t₁
得：t₁=$\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{3}{2}=1.5$s
（2）如果平臺(tái)光滑，煤塊在木板上滑動(dòng)的過程中二者的動(dòng)量守恒，設(shè)系統(tǒng)的最終速度為v₁，選取向右為正方向，對(duì)系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv=（m+M）v₁
解得：${v}_{1}=\frac{mv}{m+M}=\frac{1×3}{1+5}=0.5$m/s
由能量守恒定律，產(chǎn)生的熱量為：
Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：Q=3.75J
摩擦力對(duì)煤塊的沖量：I=△mv=m（v₁-v）=1×（2-3）=-1kg•m/s
負(fù)號(hào)表示方向向左．
（3）如果平臺(tái)不光滑，煤塊水平方向受到摩擦力的作用，做減速運(yùn)動(dòng)，加速度仍然是a₂，設(shè)二者受到相等時(shí)的速度為v₂，則：
v₂=v-a₂t₂=3-2×0.5=2m/s
煤塊的位移：${x}_{1}=\frac{v+{v}_{1}}{2}•{t}_{2}=\frac{3+2}{2}×0.5=1.25$m
木板在水平方向受到向右的拉力、向右的煤塊對(duì)木板的摩擦力以及地面對(duì)木板的向右的摩擦力，由牛頓第二定律可知木板向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，末速度等于2m/s，則在0.5s內(nèi)的位移：${x}_{2}=\frac{1}{2}{v}_{1}{t}_{2}=\frac{1}{2}×2×0.5=0.5$m
所以二者之間的相對(duì)位移，即煤塊在木板上留下的黑色痕跡的長(zhǎng)度：
△s=x₁-x₂=1.25-0.5=0.75m
答：（1）煤塊相對(duì)傳動(dòng)帶運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是1.5s；
（2）如果平臺(tái)光滑，煤塊與木板摩擦產(chǎn)生的熱量是3.75J，煤塊從滑上木板至與木板相對(duì)靜止過程中摩擦力對(duì)煤塊的沖量是1kg•m/s，方向向左；
（3）如果平臺(tái)不光滑，此刻煤塊在木板上留下的黑色痕跡的長(zhǎng)度△s是0.75m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律的綜合應(yīng)用能量以及動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，綜合能力要求較高，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程、應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律即可正確解題．