Question

4．如圖所示，水平軌道OP光滑，PM粗糙，PM長(zhǎng)L=3.2m．OM與半徑R=0.15m的豎直半圓軌道MN平滑連接．小物塊A自O(shè)點(diǎn)以v₀=14m/s向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在P點(diǎn)的小物塊B發(fā)生正碰（碰撞時(shí)間極短），碰后A、B分開(kāi)，A恰好運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)停止．A、B均看作質(zhì)點(diǎn)．已知A的質(zhì)量m_A=1.0kg，B的質(zhì)量m_B=2.0kg，A、B與軌道PM的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.25，g取10m/s²，求：
（1）碰后A、B的速度大小；
（2）碰后B沿軌道PM運(yùn)動(dòng)到M所需時(shí)間；
（3）若B恰好能到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)N，求沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程損失的機(jī)械能．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出AB在PM之間運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，由位移速度公式求出A碰撞后的速度，再對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量守恒求出碰撞后B的速度；
（2）由位移公式即可求出B在PM之間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）由速度公式求出求出B到達(dá)M的速度，根據(jù)過(guò)豎直平面內(nèi)圓周的最高點(diǎn)的條件求出B在圓的最高點(diǎn)的速度，最后由動(dòng)能定理即可求出．

解答 解：
（1）依牛頓第二定律，AB在PM上滑行時(shí)的加速度大小相同，皆為a，$a=\frac{{μ{m_A}g}}{m_A}=\frac{{μ{m_B}g}}{m_B}=μg$
代入數(shù)據(jù)得：a=2.5m/s²
由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，對(duì)A，$v_1^2=2aL$
得碰后速度v₁=4m/s
AB相碰的過(guò)程中系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒，選取向右為正方向，得：m_Av₀=m_Av₁+m_Bv₂
得碰后B的速度v₂=5m/s
（2）對(duì)B，P到M的過(guò)程，有：$L=v_2^{\;}t-\frac{1}{2}at_{\;}^2$
結(jié)合（1）可解得：t₁=3.2s（不合，舍去）      t₂=0.8s
即所求時(shí)間t=0.8s
（3）B在M點(diǎn)的速度大小$v_3^{\;}=v_2^{\;}-at$
代入數(shù)值解得：v₃=3m/s
物體恰好過(guò)N點(diǎn)，滿足：$\frac{{{m_B}v_4^2}}{R}={m_B}g$
M-N過(guò)程，由功能關(guān)系可得$Q=\frac{1}{2}{m_B}v_3^2-\frac{1}{2}{m_B}v_4^2-2{m_B}gR$
聯(lián)立解得損失機(jī)械能：Q=1.5J
答：（1）碰后A、B的速度大小分別為4m/s和5m/s；
（2）碰后B沿軌道PM運(yùn)動(dòng)到M所需時(shí)間是0.8s；
（3）若B恰好能到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)N，沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程損失的機(jī)械能是1.5J．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)量守恒定律以及機(jī)械能守恒定律的直接應(yīng)用，解題時(shí)要先規(guī)定正方向，知道B球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的臨界條件，難度適中．