Question

3．如圖所示，在真空區(qū)域內(nèi)，有寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，MN、PQ是磁場(chǎng)的邊界．質(zhì)量為m，帶電量為-q的粒子（不計(jì)重力），先后兩次，沿著與MN夾角為θ（0＜θ＜90°）的方向垂直磁感線射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．第一次，粒子是經(jīng)電壓U₁（未知）加速后射入磁場(chǎng)，粒子剛好沒能從PQ邊界射出磁場(chǎng)；第二次粒子是經(jīng)電壓U₂（未知）加速后射入磁場(chǎng)，粒子剛好垂直PQ射出磁場(chǎng)（粒子加速前速度均認(rèn)為是0）．求：
（1）加速電壓$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$的值；
（2）為使粒子經(jīng)電壓U₂加速后射入磁場(chǎng)，能沿直線穿過磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)區(qū)域加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，求該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向．

Answer 1

分析 （1）畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡的半徑．帶電粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出速度．
再根據(jù)動(dòng)能定理研究粒子在電場(chǎng)中加速過程，即可求出加速電壓及加速電壓之比．
（2）根據(jù)洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，求出電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向．

解答 解：（1）在加速電場(chǎng)中，根據(jù)動(dòng)能定理得
  Uq=$\frac{1}{2}$mυ² ①
在磁場(chǎng)中，有 Bqυ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  ②
第一次粒子射入磁場(chǎng)后剛好不能從PQ邊界射出磁場(chǎng)，表明在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡與PQ邊界相切，到達(dá)PQ的速度方向平行于PQ，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，圓半徑R₁與L的關(guān)系式為：L=R₁+R₁cosθ，R₁=$\frac{L}{1+cosθ}$．③
第二次粒子到達(dá)PQ的軌跡如圖乙所示，軌跡半徑R₂與磁場(chǎng)寬L的關(guān)系式為
 R₂=$\frac{L}{cosθ}$ ④
解①②③④得 $\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{（1+cosθ）^{2}}$．
（2）為使粒子經(jīng)電壓U₂加速射入磁場(chǎng)后沿直線運(yùn)動(dòng)，直至射出PQ邊界，則所受的洛倫茲力和電場(chǎng)力平衡，
則 qv₂B=qE
可得 E=v₂B=$\frac{q{B}^{2}L}{mcosθ}$．方向與MN邊界成（90°-θ）角斜向右下方．如右圖所示．
答：
（1）加速電壓$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$的值是$\frac{co{s}^{2}θ}{（1+cosθ）^{2}}$．
（2）該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小是$\frac{q{B}^{2}L}{mcosθ}$．方向與MN邊界成（90°-θ）角斜向右下方．

點(diǎn)評(píng) 題中帶電粒子先加速后在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，電場(chǎng)中運(yùn)用動(dòng)能定理求解速度，在磁場(chǎng)中畫軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑，都是必須掌握的常用方法．