Question

18．如圖所示，在直角坐標(biāo)系x0y第二象限內(nèi)有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，第三象限內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₃，第四象限內(nèi)某一位置固定電量為Q的負(fù)點(diǎn)電荷，只對(duì)第四象限內(nèi)的電荷產(chǎn)生作用力，現(xiàn)有帶正電的點(diǎn)電荷q自第二象限內(nèi)A（-4，4）靜止釋放，經(jīng)y軸上B（0，-6）點(diǎn)進(jìn)入第四象限，在負(fù)點(diǎn)電荷Q的作用下恰做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)x軸上C點(diǎn)與x軸負(fù)向成53°射入第一象限．已知E₂，求：
（1）第三象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)E₃的大小，
（2）C點(diǎn)的坐標(biāo)，
（3）若在第一象限內(nèi)加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，使q恰能回到A點(diǎn)且速度為0，試求E₁的方向和最小值．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在第二象限內(nèi)做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在第三象限內(nèi)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度的表達(dá)式，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出；
（2）粒子在第四象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由題目中給出的角度與坐標(biāo)的幾何關(guān)系即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若在第一象限內(nèi)加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E，使q恰能回到A點(diǎn)且速度為0，應(yīng)在第一象限內(nèi)加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁使點(diǎn)電荷原路返回，最小值對(duì)應(yīng)剛好運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸前速度減為0．然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出．

解答 解：（1）設(shè)第二象限內(nèi)加速度為a₂，離開(kāi)第二象限時(shí)速度為v₂；第三象限內(nèi)加速度為a₃，離開(kāi)第三象限時(shí)速度為v₃．
則：$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}=4$，$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{2}=4$
得：${t}_{2}=\frac{4}{\frac{1}{2}{v}_{2}}=\frac{8}{{v}_{2}}$，${t}_{3}=\frac{6}{{v}_{2}}$
$\frac{{E}_{2}}{{E}_{3}}=\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$
得：${E}_{3}=\frac{16}{9}{E}_{2}$
（2）設(shè)圓運(yùn)動(dòng)半徑為R，v₃與y軸負(fù)向成β角．
由幾何關(guān)系得：tanβ=$\frac{{v}_{3x}}{{v}_{2}}=\frac{{a}_{3}{t}_{3}}{{a}_{2}{t}_{2}}=\frac{4}{3}$
Rcosβ+Rsinθ=6
OC=Rsinβ+Rcosθ=6
故C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）
（3）根據(jù)電場(chǎng)中點(diǎn)電荷受力情況與運(yùn)動(dòng)方向無(wú)關(guān)，應(yīng)在第一象限內(nèi)加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁使點(diǎn)電荷原路返回．故E₁方向?yàn)閤軸正向成53°斜向下．
最小值對(duì)應(yīng)剛好運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸前速度減為0
$0-{v}_{3}^{2}=-2{a}_{1}•\frac{6}{cos53°}$=-20a₁
${v}_{2}^{2}=2{a}_{2}×4$=8a₂
$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}$
${E}_{1}=\frac{10}{9}{E}_{2}$
答：（1）第三象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)E的大小為$\frac{16}{9}{E}_{2}$，
（2）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）；
（3）若在第一象限內(nèi)加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E，使q恰能回到A點(diǎn)且速度為0，E₁方向?yàn)閤軸正向成53°斜向下，最小值為$\frac{10}{9}{E}_{2}$．

點(diǎn)評(píng) 粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，分析粒子的受力是解題的基礎(chǔ)，本題的關(guān)鍵是畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)得到磁場(chǎng)面積最小的條件．