Question

20．在如圖所示的xoy直角坐標(biāo)系內(nèi)，x軸上方有沿y軸負(fù)方向的勻強電場，x軸下方有垂直紙面向外的勻強磁場，一質(zhì)量為m，電荷量為q的粒子，t=0時刻從y軸上的A（0，h）點以初速度v₀沿x軸正向射出，粒子經(jīng)過x軸上的B（2h，0）點進(jìn)入磁場，恰從原點O第一次射出磁場，不計粒子重力，求：
（1）電場強度E和磁感應(yīng)強度B的大��；
（2）帶電粒子從A（0，h）點第一次運動到距x軸上方最大距離處的時間；
（3）粒子帶n次射出磁場時的橫坐標(biāo)值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，根據(jù)水平位移和初速度求出運動的時間，根據(jù)牛頓第二定律和位移時間公式求出電場強度的大小．根據(jù)粒子的速度方向，結(jié)合半徑公式和幾何關(guān)系求出磁感應(yīng)強度的大小．
（2）粒子出磁場后運動到離x軸最大距離處時豎直速度為零，看作反向的平拋運動，根據(jù)周期公式求出粒子在磁場中運動的時間，以及粒子在電場中做類平拋運動的時間，從而得出總時間．
（3）粒子在電場和磁場空間做周期性運動，一個周期沿x軸正向前進(jìn)，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合粒子在磁場中運動的半徑求出粒子帶n次射出磁場時的橫坐標(biāo)值．

解答 解：（1）粒子在電場中運動，水平方向有：2h=v₀t₁，豎直方向有：h=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
由牛頓第二定律得，E=$\frac{ma}{q}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$，
粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運動，進(jìn)入時速度大小為v，v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$，
h=$\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{1}$，
入射時與x軸正向成夾角為α，tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，故$α=\frac{π}{4}$．
設(shè)圓周運動半徑為R，$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
由幾何關(guān)系得，$\sqrt{2}R=2h$，解得B=$\frac{m{v}_{0}}{qh}$．
（2）在磁場中運動的時間為t₂，${t}_{2}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}×\frac{2πm}{qB}$，
由題意可知粒子出磁場后運動到離x軸最大距離處時豎直速度為零，看作反向的平拋運動，離開磁場到最高點所用時間${t}_{3}={t}_{1}=\frac{2h}{{v}_{0}}$．
帶電粒子經(jīng)時間t第一次運動到距x軸的距離最大，
t=${t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=（4+\frac{3π}{2}）\frac{h}{{v}_{0}}$．
（3）粒子在電場和磁場空間做周期性運動，一個周期沿x軸正向前進(jìn)，
△x=OB=2h，
粒子第1次離開磁場時位置坐標(biāo)為（0，0）
粒子第n次離開磁場時橫坐標(biāo)為x_n=（n-1）△x=2（n-1）h，（n=1、2、3…）
答：（1）電場強度的大小為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$，磁感應(yīng)強度的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qh}$．
（2）帶電粒子從A（0，h）點第一次運動到距x軸上方最大距離處的時間為$（4+\frac{3π}{2}）\frac{h}{{v}_{0}}$．
（3）粒子帶n次射出磁場時的橫坐標(biāo)值為2（n-1）h，（n=1、2、3…）

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程、作出粒子運動軌跡，應(yīng)用類平拋運動知識、牛頓第二定律、幾何知識即可正確解題．