Question

10．如圖，在粗糙水平地面上靜止放置一塊質量為M的長木板，有一個質量為m、可視為質點的物塊以v₀=10m/s的水平初速度從左端沖上木板．已知從物塊開始運動到物塊與木板都靜止，經歷的時間為12s，物塊在木板上滑過的距離為△s=20m，木板移動的距離為s=24m．取g=10m/s²．求：
（1）木板的最大速度并作出木板、物塊運動的v-t圖象；
（2）物塊質量m與長木板質量M之比．

Answer 1

分析 （1）木板先做勻加速直線運動，后做勻減速直線運動，設勻加速運動的時間為t，則勻減速運動的時間為12-t，設木板的最大速度為v，根據(jù)木板運動的位移求出最大速度，根據(jù)物塊在木板上滑行的位移求出相對運動的時間，從而畫出木板、物塊運動的v-t圖象．
（2）分別對物塊、木板和整體運用牛頓第二定律，結合圖線求出加速度的大小，從而得出木塊和木板的質量之比．

解答 解：（1）木板先做勻加速直線運動，后做勻減速直線運動，設勻加速運動的時間為t，則勻減速運動的時間為12-t，設木板的最大速度為v，
則有：$\frac{v}{2}t+\frac{v}{2}（12-t）=s$
解得：v=$\frac{24}{6}=4m/s$，
物塊在木板上滑過的距離$△s=\frac{{v}_{0}+v}{2}t-\frac{v}{2}t$，
解得：t=4s
則木塊先勻減速運動4s，4s末速度為4m/s，木板先做勻加速直線運動4s，速度為4m/s，后木塊和木板一起做勻減速直線運動，12s末停止運動，
木板、物塊運動的v-t圖象，如圖所示：

（2）設物塊沖上木板做勻減速直線運動的加速度大小為a₁，木板做勻加速直線運動的加速度大小為a₂，達相同速度后一起勻減速直線運動的加速度大小為a，
根據(jù)牛頓第二定律對物塊：μ₁mg=ma₁，①
對木板：μ₁mg-μ₂（m+M）g=Ma₂，②
對整體：μ₂（m+M）g=（M+m）a，③
由圖象得：
a₁=1.5m/s²，a₂=1m/s²，a=0.5m/s²．
由以上各式解得：
m：M=3：2．
答：（1）木板的最大速度為4m/s，木板、物塊運動的v-t圖象，如圖所示；
（2）物塊質量m與長木板質量M之比為3：2．

點評 解決本題的關鍵理清物塊和木板的運動情況，結合牛頓第二定律和圖象進行求解．知道圖線的斜率表示加速度，難度適中．