Question

6．如圖所示，相距2L的AB、CD兩直線間的區(qū)域存在著兩個(gè)大小不同、方向相反的有界勻強(qiáng)電場，其中PT上方的電場E₁的場強(qiáng)方向豎直向下，PT下方的電場E₀的場強(qiáng)方向豎直向上，在電場左邊界AB上寬為L的PQ區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為+q、質(zhì)量為m的粒子．從某時(shí)刻起由Q到P點(diǎn)間的帶電粒子，依次以相同的初速度v₀沿水平方向垂直射入勻強(qiáng)電場E₀中，若從Q點(diǎn)射入的粒子，通過PT上的某點(diǎn)R進(jìn)入勻強(qiáng)電場E₁后從CD邊上的M點(diǎn)水平射出，其軌跡如圖，若MT兩點(diǎn)的距離為L/2．不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用．試求：
（1）電場強(qiáng)度E₀與E₁；
（2）在PQ間還有許多水平射入電場的粒子通過電場后也能垂直CD邊水平射出，這些入射點(diǎn)到P點(diǎn)的距離有什么規(guī)律？

Answer 1

分析 （1）粒子在兩電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由圖可得出粒子在兩電場中的運(yùn)動(dòng)情況；分別沿電場方向和垂直電場方向列出物理規(guī)律，聯(lián)立可解得電場強(qiáng)度的大��；
（2）粒子進(jìn)入電場做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，再由牛頓第二定律可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)PT直線上的點(diǎn)R由E₀電場進(jìn)入E₁電場，由Q到R及R到M點(diǎn)的時(shí)間分別為t₁與t₂，到達(dá)R時(shí)豎直速度為v_y，則：
由$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}$、v=at及F=Eq=ma得：
$L=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{0}}{m}{{t}_{1}}^{2}$…①
又因 $\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{1}}{m}{{t}_{2}}^{2}$…②
而${v}_{y}=\frac{q{E}_{0}}{m}{t}_{1}=\frac{q{E}_{1}}{m}{t}_{2}$…③
勻速運(yùn)動(dòng)v₀（t₁+t₂）=2L…④
上述三式聯(lián)立解得：E₁=2E₀，${E}_{0}=\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{8qL}$，${E}_{1}=\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{4qL}$
（2）由E₁=2E₀及③式可得t₁=2t₂．
因沿PT方向粒子做勻速運(yùn)動(dòng)，故P、R兩點(diǎn)間的距離是R、T兩點(diǎn)間距離的兩倍．即粒子在E₀電場做類平拋運(yùn)動(dòng)在PT方向的位移是在E₁電場中的兩倍．
設(shè)PQ間到P點(diǎn)距離為△y的F處射出的粒子通過電場后也沿水平方向，若粒子第一次達(dá)PT直線用時(shí)△t，水平位移為△x，則
x=v₀△t，
$△y=\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}（△t）^{2}$
粒子在電場E₁中可能做類平拋運(yùn)動(dòng)后垂直CD邊射出電場，也可能做類斜拋運(yùn)動(dòng)后返回E₀電場，在E₀電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)垂直CD水平射出，或在E₀電場中做類斜拋運(yùn)動(dòng)再返回E₁電場．
若粒子從E₁電場垂直CD射出電場，則
$（3n+1）△x+\frac{△x}{2}=2L$（n=0、1、2、3、…）
解之得：$△y=\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{△x}{{v}_{0}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{4L}{{3（2n+1）v}_{0}}）}^{2}=\frac{L}{（2n+1）^{2}}$（n=0、1、2、3、…）
若粒子從E₀電場垂直CD射出電場，則
3k△x=2L（k=1、2、3、…）
$△y=\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{△x}{{v}_{0}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{2L}{{3kv}_{0}}）}^{2}=\frac{L}{{4k}^{2}}$ （k=1、2、3、…）
即PF間的距離為$\frac{L}{（2n+1）^{2}}$與$\frac{L}{{4k}^{2}}$，其中n=0、1、2、3、…，k=1、2、3、…
或 $n\frac{3△x}{2}=2L$（n=1、2、3、…）
解之得：$△y=\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{△x}{{v}_{0}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{4L}{{3nv}_{0}}）}^{2}=\frac{L}{{n}^{2}}$（n=1、2、3、…）
即PF間的距離為$\frac{L}{{n}^{2}}$ （n=1，2，3，…）．
答：（1）電場強(qiáng)度E₀為$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{8qL}$，E₁為$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{4qL}$；
（2）這些入射點(diǎn)到P點(diǎn)的距離為$\frac{L}{{n}^{2}}$ （n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評 帶電粒子在電場磁場中的運(yùn)動(dòng)要把握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在電場中利用幾何關(guān)系得出其沿電場．和垂直于電場的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；而在磁場中也是要注意找出相應(yīng)的幾何關(guān)系，從而確定圓心和半徑，屬于難題．