Question

18．如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，C點(diǎn)為半圓軌道的最高點(diǎn)，B點(diǎn)為水平面與軌道的切點(diǎn)，在距離B為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從靜止開始推到B處后撤去恒力，小球沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后又正好落回A點(diǎn)，重力加速度為g，則（　�。�

• A． x=2R時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力所做的功最少，且最少值為W_F=$\frac{5}{2}$mgR
• B． x=4R時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力所做的功最少，且最少值為W_F=$\frac{5}{4}$mgR
• C． x=2R時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力所做的功最少，且最小推力為F=$\frac{3}{2}$mg
• D． x=4R時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力所做的功最少，且最小推力為F=mg

Answer 1

分析 小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大小，選取從A到C過程，由動(dòng)能定理可求出推力對(duì)小球所做的功．力F做功越小，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度越小，到達(dá)最高點(diǎn)C的速度越小，當(dāng)小球恰好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，此時(shí)C點(diǎn)的速度最小，力F做功最�。�先由牛頓第二定律求出小球通過C點(diǎn)的最小速度，即可得到最小功；根據(jù)功與x的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解力最小時(shí)x的值及最小的力．

解答 解：設(shè)物體到達(dá)C點(diǎn)的速度為v，小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=vt
得：v=x$\sqrt{\frac{g}{4R}}$
對(duì)質(zhì)點(diǎn)從A到C，由動(dòng)能定理有：
Fx-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
則得：Fx=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=2mgR+$\frac{mg{x}^{2}}{8R}$
因?yàn)?v≥$\sqrt{gR}$，則得 x≥2R，當(dāng)x=2R時(shí)，推力F做的功有極小值，推力做功最少值為：W_F=$\frac{5}{2}$mgR
由F=$\frac{2mgR}{x}$+$\frac{mgx}{8R}$，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)$\frac{2mgR}{x}$=$\frac{mgx}{8R}$，即x=4R時(shí)，F(xiàn)有極小值，F(xiàn)的最小值為：F=mg，故AD正確．
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 本題要挖掘隱含的臨界條件：小球通過C點(diǎn)的最小速度為$\sqrt{gR}$，由動(dòng)能定理求解F做功，再運(yùn)用數(shù)學(xué)不等式知識(shí)求解極值．