Question

19．如圖所示，虛線MN 上方有平行于紙面的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E，方向與MN成45°，虛線MN下方為方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．在電場中的P點由靜止釋放一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子A，粒子經(jīng)過電場加速后，從MN上的Q點進(jìn)入磁場，從MN上的R點返回電場，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后又恰好回到Q點，不計粒子的重力．求：
（1）求PQ間的距離；
（2）求粒子A先后兩次經(jīng)過Q點的時間間隔；
（3）若粒子A從R點進(jìn)入電場時，在QR中點的正上方電場中由某處由靜止釋放一個與粒子A完全相同的粒子B，結(jié)果兩個粒子在云端過程中相碰，則粒子B釋放的位置離MN的距離是多少？兩粒子在何處相碰？

Answer 1

分析 （1）粒子先在電場中做勻加速直線運動，進(jìn)入磁場后做勻速圓周運動，出電場后做類平拋運動，結(jié)合動能定理、圓周的半徑公式以及類平拋運動的規(guī)律進(jìn)行求解，得出PQ間的距離．
（2）根據(jù)粒子在磁場中運動的周期，結(jié)合圓心角得出粒子在磁場中的運動時間，根據(jù)運動學(xué)公式求出類平拋運動的時間，從而得出A先后兩次經(jīng)過Q點的時間．
（3）在QR中點的正上方電場中由某處由靜止釋放一個與粒子A完全相同的粒子B，兩粒子相碰，可知兩粒子在沿電場方向上運動的距離相等，即釋放的粒子B的位置一定在A再次進(jìn)入電場時的速度方向延長線上，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子B釋放的位置離MN的距離，以及確定出在何處相碰．

解答 解：（1）粒子A在電場中做加速運動，根據(jù)動能定理有：$qEL=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
粒子A在磁場中做勻速圓周運動運動，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
由幾何關(guān)系可知：${s}_{QR}=\sqrt{2}r$，
粒子A再次進(jìn)入電場后做類平拋運動，有：s_QRcos45°=vt₂，
${s}_{QR}sin45°=\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$，a=$\frac{qE}{m}$，
聯(lián)立解得：L=$\frac{mE}{8q{B}^{2}}$，r=4L=$\frac{mE}{2q{B}^{2}}$．
（2）粒子A在磁場中運動的時間為：${t}_{1}=\frac{3}{4}×\frac{2πm}{qB}=\frac{3πm}{2qB}$，
再次進(jìn)入電場后，在電場中運動的時間為：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2r}{a}}=\frac{m}{qB}$，
因此粒子A先后兩次經(jīng)過Q點的時間間隔為：t=t₁+t₂=$（1+\frac{3π}{2}）\frac{m}{qB}$．
（3）由運動的分解可知，在粒子A從R點再次進(jìn)入電場時，在電場中某點釋放的粒子B要與粒子A相碰，則釋放的粒子B的位置一定在A再次進(jìn)入電場時的速度方向延長線上，若粒子B要在QR中點上方某位置釋放，由幾何關(guān)系可知：
該位置離MN的距離為：$x=\frac{\sqrt{2}}{2}r=\frac{\sqrt{2}mE}{4q{B}^{2}}$．
兩粒子剛好在Q點相碰．
答：（1）PQ間的距離為$\frac{mE}{8q{B}^{2}}$；
（2）粒子A先后兩次經(jīng)過Q點的時間間隔為$（1+\frac{3π}{2}）\frac{m}{qB}$；
（3）粒子B釋放的位置離MN的距離是$\frac{\sqrt{2}mE}{4q{B}^{2}}$，兩粒子剛好在Q點相碰．

點評 本題考查帶電粒子在電場、磁場中兩運動模型：勻速圓周運動與類平拋運動，及相關(guān)的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力．