Question

7．如圖所示，一定滑輪上饒有輕質(zhì)柔軟細(xì)線，線的一端系一質(zhì)量為3m的重物，另一端系一質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿．在豎直平面內(nèi)有間距為L的足夠長的平行金屬導(dǎo)軌PQ、EF，QF之間連接有阻值為R的電阻，其余電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場與導(dǎo)軌平面垂直，金屬桿置于導(dǎo)軌上，將重物由靜止釋放，當(dāng)重物下降h時恰好達(dá)到穩(wěn)定速度而勻速下降．運(yùn)動過程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，忽略摩擦阻力．
（1）若某時刻重物下降的速度v（v＜v_m），求此時桿的加速度值；
（2）重物從釋放到下降h的過程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_r．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、歐姆定律、安培力公式求出桿所受的安培力大小，對整體分析，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度．
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒合力為零時，速度最大，結(jié)合平衡求出最大速度，對整體分析，根據(jù)能量守恒求出整個回路產(chǎn)生的熱量，從而得出電阻R上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）重物下降的速度v時，金屬桿切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：
E=BLv，
感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R+r}=\frac{BLv}{R+r}$，
根據(jù)牛頓第二定律得：
$a=\frac{3mg-mg-BIL}{4m}$=$\frac{2mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}}{4m}$=$\frac{1}{2}g-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{4m（R+r）}$．
（2）重物勻速運(yùn)動時有：
$3mg=mg+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
解得最大速度為：
${v}_{m}=\frac{2mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
根據(jù)能量守恒得：
（3mg-mg）h=$\frac{1}{2}（3m+m）{{v}_{m}}^{2}+Q$，
解得整個回路產(chǎn)生的熱量為：
Q=$2mgh-\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$，
則電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為：
${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{R}{r+R}$（$2mgh-\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$）．
答：（1）桿的加速度值為$\frac{1}{2}g-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{4m（R+r）}$．
（2）電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{R}{r+R}$（$2mgh-\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$）．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合，正確分析金屬桿的受力情況和能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．對于連接體，可直接運(yùn)用整體法求解加速度，也可以隔離求解加速度．