Question

4．（1）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，除了類似太陽系的恒星-行星系統(tǒng)，還存在許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙有了較深刻的認(rèn)識．雙星系統(tǒng)是由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度（直徑）都遠(yuǎn)小于兩星體間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)做孤立系統(tǒng)處理．已知某雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M₀，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G． 求：
①該雙星系統(tǒng)中星體的加速度大小a；
②該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T．
（2）微觀世界與宏觀世界往往存在奇妙的相似性．對于氫原子模型，因?yàn)樵�子核的質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，可以忽略原子核的運(yùn)動(dòng)，形成類似天文學(xué)中的恒星-行星系統(tǒng)，記為模型Ⅰ．另一種模型認(rèn)為氫原子的核外電子并非繞核旋轉(zhuǎn)，而是類似天文學(xué)中的雙星系統(tǒng)，核外電子和原子核依靠庫侖力作用使它們同時(shí)繞彼此連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，記為模型Ⅱ．已知核外電子的質(zhì)量為m，氫原子核的質(zhì)量為M，二者相距為r，靜電力常量為k，電子和氫原子核的電荷量大小均為e．
①模型Ⅰ、Ⅱ中系統(tǒng)的總動(dòng)能分別用E_kⅠ、E_kⅡ表示，請推理分析，比較E_kⅠ、E_kⅡ的大小關(guān)系；
②模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別用T_Ⅰ、T_Ⅱ表示，通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ的方案，請從周期的角度分析這樣簡化處理的合理性．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律求該雙星系統(tǒng)中星體的加速度大��；
②根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期；
（2）①根據(jù)萬有引力提供向心力和動(dòng)能公式分別求出兩種模型系統(tǒng)的總動(dòng)能；
②根據(jù)萬有引力提供向心力求出兩種模型系統(tǒng)的周期，再由數(shù)學(xué)知識得出周期之間的關(guān)系，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）①、根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：
$G\frac{{M}_{0}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}={M}_{0}^{\;}a$
解得：$a=\frac{G{M}_{0}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}$：
②、由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知：$a=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}\frac{L}{2}$
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{2G{M}_{0}^{\;}}}$
（2）①模型Ⅰ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v，對于電子繞核的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律有：
$k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得：${E}_{k1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$=$\frac{k{e}_{\;}^{2}}{2r}$
模型Ⅱ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為${v}_{1}^{\;}$、${v}_{2}^{\;}$，電子的運(yùn)動(dòng)半徑為${r}_{1}^{\;}$，原子核的運(yùn)動(dòng)半徑為${r}_{2}^{\;}$．根據(jù)庫倫定律和牛頓第二定律
對電子有：$k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
解得：${E}_{k1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{k{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
對于原子核有：$k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{2}}=M\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}^{\;}}$：
解得：${E}_{k2}^{\;}=\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}=\frac{k{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
系統(tǒng)總動(dòng)能為：${E}_{k總}^{\;}$=${E}_{k1}^{\;}+{E}_{k2}^{\;}$=$\frac{k{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{\;}^{2}}（{r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}）$=$\frac{k{e}_{\;}^{2}}{2r}$
即在設(shè)兩種模型中，系統(tǒng)的總動(dòng)能相等．
②模型Ⅰ中，根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律有：
$k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{Ⅰ}^{2}}r$
解得：${T}_{Ⅰ}^{2}=\frac{4{π}_{\;}^{2}m{r}_{\;}^{3}}{k{e}_{\;}^{2}}$
模型Ⅱ中，電子和原子核周期相同，均為${T}_{Ⅱ}^{\;}$
根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律，對電子有：：$k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{Ⅱ}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
解得：${r}_{1}^{\;}=\frac{k{e}_{\;}^{2}{T}_{Ⅱ}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}m}$
對原子核有：$k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{2}}=M\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{Ⅱ}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
解得：${r}_{2}^{\;}=\frac{k{e}_{\;}^{2}{T}_{Ⅱ}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}M}$
因${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=r$，將以上兩式代入，可解得：
${T}_{Ⅱ}^{2}=\frac{4{π}_{\;}^{2}mM{r}_{\;}^{2}}{{ke}_{\;}^{2}（M+m）}$
所以有：$\frac{{T}_{Ⅰ}^{\;}}{{T}_{Ⅱ}^{\;}}=\sqrt{\frac{M+m}{M}}$
因?yàn)镸＞＞m，可得${T}_{Ⅰ}^{\;}≈{T}_{Ⅱ}^{\;}$，所以采用模型Ⅰ更簡單方便
答：（1）①該雙星系統(tǒng)中星體的加速度大小a為$\frac{G{M}_{0}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}$；
②該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{2G{M}_{0}^{\;}}}$
（2）①模型Ⅰ、Ⅱ中系統(tǒng)的總動(dòng)能分別用E_kⅠ、E_kⅡ表示，請推理分析，比較E_kⅠ、E_kⅡ的大小相等；
②模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別用T_Ⅰ、T_Ⅱ表示，通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ的方案，從周期的角度分析這樣簡化處理的合理性，因?yàn)椴捎媚Ｐ廷窀�簡單方便�?/p>

點(diǎn)評 對于雙星問題和暗物質(zhì)問題，關(guān)鍵都要建立模型，確定向心力的來源．若雙星圓周運(yùn)動(dòng)的圓心不在連線的中點(diǎn)，要采用隔離法研究．