Question

17．如圖所示，質(zhì)量m=1kg的小滑塊N（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在質(zhì)量為M=m的長木板M左端，N和M之間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.5，M和地面之間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.1；現(xiàn)給小滑塊N一個水平向右的初速度v₀=8m/s，小滑塊N和長木板M同時到達(dá)B點(diǎn)且此時速度大小恰好相等，小滑塊到達(dá)長木板右端后，能夠由C點(diǎn)平滑地滑上固定的光滑圓弧軌道，圓弧軌道半徑R=0.3m，重力加速度g=10m/s²，求：

（1）小滑塊和長木板間摩擦產(chǎn)生的熱；
（2）判斷小滑塊是否會脫離圓弧軌道，若不會脫離，試證明，若會脫離，求滑塊脫離圓弧軌道的點(diǎn)離C點(diǎn)的豎直高度；
（3）當(dāng)圓弧軌道半徑滿足什么條件時，小滑塊不會推力圓弧軌道．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求得兩者的加速度，利用速度時間和位移時間公式求得發(fā)生的位移，根據(jù)Q=fl求得產(chǎn)生的熱量；
（2）根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式求得到達(dá)B點(diǎn)的速度，利用牛頓第二定律求得即可判斷；
（3）若小球不能或恰好能到達(dá)圓弧軌道的圓心高度，則小球不會脫離軌道或者小球能夠通過圓弧軌道的最高點(diǎn)即可判斷

解答 解：（1）分別對小滑塊和長木板進(jìn)行受力分析，小滑塊做勻減速直線運(yùn)動，加速度大小${a}_{1}={μ}_{1}g=5m/{s}^{2}$
長木板做勻加速直線運(yùn)動，加速度大小為：${a}_{2}=\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}=3m/{s}^{2}$
根據(jù)運(yùn)動公式可知，長木板的長度l=4m
到達(dá)B點(diǎn)時，小滑塊和長木板的速度大小均為v_C=3m/s
故小滑塊和長木板間摩擦產(chǎn)生的熱量Q=fl=20J
（2）會脫離；當(dāng)小球滑上圓弧軌道的初速度v_C=3m/s時，取軌道上D點(diǎn)對小球受力分析，如圖，設(shè)小球到達(dá)圖示位置的速度為v，

則${D}_{y}+N=\frac{m{v}^{2}}{R}$
$mg（R+h）=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
當(dāng)N=0時，小球離開軌道，聯(lián)立解得h=0.1m
即當(dāng)小球上升到距離C點(diǎn)的豎直高度為0.4m時，小球脫離軌道；
（3）分兩種情況：
①若小球不能或恰好能到達(dá)圓弧軌道的圓心高度，則小球不會脫離軌道，即：
$mgh=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$且h≤r，解得r≥0.45m
②小球能夠通過圓弧軌道的最高點(diǎn)，即：$2mgr=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$且$v≥\sqrt{gr}$解得r≤0.18m
即小滑塊不會推力圓弧軌道時半徑應(yīng)該滿足0≤r≤0.18m或者r≥0.45m
答：（1）小滑塊和長木板間摩擦產(chǎn)生的熱為20J；
（2）小滑塊會脫離圓弧軌道，滑塊脫離圓弧軌道的點(diǎn)離C點(diǎn)的豎直高度為0.4m；
（3）當(dāng)圓弧軌道半徑滿足0≤r≤0.18m或者r≥0.45m時，小滑塊不會推力圓弧軌

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式和向心力公式判斷物體的運(yùn)動情況，知道小球剛脫離軌道時，由重力的徑向分力提供向心力