Question

19．如圖所示，用一根長為l=2m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m=1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ=37°，小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）若要小球離開錐面，則小球的角速度ω₀至少為多大？
（2）若小球的角速度為ω=1.0rad/s，求細(xì)線的張力和小球受到錐面的支持力大��；
（3）若小球的角速度為ω=$\sqrt{10}$rad/s，求細(xì)線的張力和小球受到錐面的支持力大�。�

Answer 1

分析 （1）小球剛要離開錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界角速度ω₀．
（2、3）通過角速度的大小判斷小球釋放離開錐面，抓住豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．

解答 解：（1）小球剛要離開錐面時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律，有：$mgtanθ=m{{ω}_{0}}^{2}lsinθ$，
解得${ω}_{0}=\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}=\sqrt{\frac{10}{2×0.8}}=2.5rad/s$．
（2）因ω＜ω₀，故此時(shí)小球未離開錐面，設(shè)小球受到的支持力為F_N，細(xì)線張力為F，則Fcosθ+F_Nsinθ=mg
$Fsinθ-{F}_{N}cosθ=m{ω}^{2}lsinθ$，
聯(lián)立以上兩式，代入數(shù)據(jù)得F=8.72N，F(xiàn)_N=5.04N．
（3）因ω＞ω₀，故此時(shí)小球已離開錐面，小球受到錐面的支持力F_N=0，
設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為α，則
mgtanα=mω²lsinα，$cosα=\frac{g}{{{ω^2}l}}=\frac{1}{2}$
細(xì)線的張力F=$\frac{mg}{cosα}=20N$．
答：（1）若要小球離開錐面，則小球的角速度ω₀至少為2.5rad/s；
（2）若小球的角速度為ω=1.0rad/s，細(xì)線的拉力為8.72N，小球受到錐面的支持力大小為5.04N．
（3）若小球的角速度為ω=$\sqrt{10}$rad/s，細(xì)線的拉力為20N，支持力為零．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于判斷小球是否離開圓錐體表面，不能直接應(yīng)用向心力公式求解，難度適中．