Question

11．如圖所示，金屬導(dǎo)軌MNC和PQD，MN與PQ平行且間距為L，所在平面與水平面夾角為α，N、Q連線與MN垂直，M、P間接有阻值為R的電阻；光滑直導(dǎo)軌NC和QD在同一水平面內(nèi)，與NQ的夾角都為銳角θ．均勻金屬棒ab和ef質(zhì)量均為m，長均為L，ab棒初始位置在水平導(dǎo)軌上與NQ重合；ef棒垂直放在傾斜導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ（μ較小），由導(dǎo)軌上的小立柱1和2阻擋而靜止．空間有方向豎直的勻強磁場（圖中未畫出），磁感應(yīng)強度大小為B．兩金屬棒與導(dǎo)軌保持良好接觸．不計所有導(dǎo)軌和ab棒的電阻，ef棒的阻值為R，最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，忽略感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場，重力加速度為g．
（1）若磁感應(yīng)強度大小為B，給ab棒一個垂直于NQ、水平向右的速度v₁，在水平導(dǎo)軌上沿運動方向滑行一段距離后停止，ef棒始終靜止，求此過程ef棒上產(chǎn)生的熱量；
（2）在（1）問過程中，ab棒滑行距離為d，求通過ab棒某橫截面的電荷量；
（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v₂在水平導(dǎo)軌上向右勻速運動，并在NQ位置時取走小立柱1和2，且運動過程中ef棒始終靜止．求此狀態(tài)下最強磁場的磁感應(yīng)強度及此磁場下ab棒運動的最大距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量守恒定律以及ef棒和R上產(chǎn)生的熱量關(guān)系，計算ef棒上產(chǎn)生的熱量；
（2）根據(jù)楞次定律和歐姆定律計算通過ab棒某橫截面的電量；
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律計算電動勢的大小，根據(jù)棒的受力計算最強磁場的磁感應(yīng)強度及此磁場下ab棒運動的最大距離．

解答 解：（1）由于ab棒做切割磁感線運動，回路中產(chǎn)出感應(yīng)電流，感應(yīng)電流流經(jīng)電阻R和ef棒時，電流做功，產(chǎn)生焦耳熱，根據(jù)功能關(guān)系及能的轉(zhuǎn)化與守恒有：
  $\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=Q_R+Q_ef                   ①
根據(jù)并聯(lián)電路特點和焦耳定律Q=I²Rt可知，電阻R和ef棒中產(chǎn)生的焦耳熱相等，即
    Q_R=Q_ef                ②
由①②式聯(lián)立解得ef棒上產(chǎn)生的熱量為：Q_ef=$\frac{1}{4}m{v}_{1}^{2}$
（2）設(shè)在ab棒滑行距離為d時所用時間為t，其示意圖如下圖所示：

該過程中回路變化的面積為：
△S=$\frac{1}{2}$[L+（L-2dcotθ）]d        ③
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的平均感應(yīng)電動勢為：
   $\overline{E}$=$\frac{B△S}{t}$   ④
根據(jù)閉合電路歐姆定律可知，流經(jīng)ab棒平均電流為：
   $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{\frac{R}{2}}$     ⑤
根據(jù)電流的定義式可知，該過程中流經(jīng)ab棒某橫截面的電荷量為：q=$\overline{I}$t    ⑥
由③④⑤⑥式聯(lián)立解得：q=$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$                                                              
（3）由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，當ab棒滑行x距離時，回路中的感應(yīng)電動勢為：
    e=B（L-2xcotθ）v₂ ⑦
根據(jù)閉合電路歐姆定律可知，流經(jīng)ef棒的電流為：i=$\frac{e}{R}$                     ⑧
根據(jù)安培力大小計算公式可知，ef棒所受安培力為：F=BiL               ⑨
由⑦⑧⑨式聯(lián)立解得：F=$\frac{{B}^{2}L{v}_{2}}{R}$（L-2xcotθ）                                ⑩
由⑩式可知，當x=0且B取最大值，即B=B_m時，F(xiàn)有最大值F_m，ef棒受力示意圖如下圖所示：

根據(jù)共點力平衡條件可知，在沿導(dǎo)軌方向上有：
   F_mcosα=mgsinα+f_m⑪
在垂直于導(dǎo)軌方向上有：
  F_N=mgcosα+F_msinα⑫
根據(jù)滑動摩擦定律和題設(shè)條件有：f_m=μF_N ⑬
由⑩⑪⑫⑬式聯(lián)立解得：B_m=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mgR（sinα+μcosα）}{（cosα-μsinα）{v}_{2}}}$         
顯然此時，磁感應(yīng)強度的方向豎直向上或豎直向下均可
由⑩式可知，當B=B_m時，F(xiàn)隨x的增大而減小，即當F最小為F_min時，x有最大值為x_m，此時ef棒受力示意圖如下圖所示：

根據(jù)共點力平衡條件可知，在沿導(dǎo)軌方向上有：
F_mincosα+f_m=mgsinα⑭（1分）
在垂直于導(dǎo)軌方向上有：F_N=mgcosα+F_minsinα⑮（1分）
由⑩⑬⑭⑮式聯(lián)立解得：x_m=$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}^{2}）sinαcosα+μ}$               
答：
（1）此過程ef棒上產(chǎn)生的熱量是$\frac{1}{4}m{v}_{1}^{2}$；
（2）通過ab棒某橫截面的電荷量是$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$；
（3）此狀態(tài)下最強磁場的磁感應(yīng)強度是$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mgR（sinα+μcosα）}{（cosα-μsinα）{v}_{2}}}$，方向豎直向上或豎直向下均可，此磁場下ab棒運動的最大距離是$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}^{2}）sinαcosα+μ}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵是分析清楚棒ab的受力的情況，明確棒剛要滑動的條件：靜摩擦力達到最大值．要能熟練運用功能關(guān)系、串并聯(lián)電路特征和閉合電路歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、楞次定律、共點力平衡條件進行解答．