Question

2．輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2R，將彈簧豎直放置在地面上，將一質(zhì)量為6m的物體置于彈簧的頂端由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為R．現(xiàn)將該彈簧放置在傾角為37⁰的斜面軌道AC上，一端固定在斜面下端擋板上的A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．直軌道與一半徑為R的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn)，AC=6R，A、B、C、D均在同一豎直面內(nèi)．用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮長(zhǎng)度R后，此時(shí)物塊P位于B處，如圖所示．撤去外力釋放物塊P，P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，物塊P與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．（取sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）
（1）若物塊P的質(zhì)量為m，求物塊P到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大��；
（2）改變物塊P的質(zhì)量，再用外力將物塊P仍推至B 點(diǎn)，靜止釋放后，若物塊 P沿軌道運(yùn)動(dòng)至圓弧的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過(guò)與C在同一水平高度上的E點(diǎn)，E點(diǎn)與C點(diǎn)水平相距$\frac{21}{5}$R，求物塊P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小及改變后物塊P的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）將6m的物體置于彈簧的頂端由靜止釋放，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求出彈簧的彈性勢(shì)能．若物塊P的質(zhì)量為m，在外力作用下，P將彈簧壓縮長(zhǎng)度R時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能不變．P由B到達(dá)C點(diǎn)，運(yùn)用動(dòng)能定理求物塊P到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大小．
（2）P由D到達(dá)E點(diǎn)作平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)下降的高度和水平位移大小結(jié)合求出物塊P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度．P由B到達(dá)D點(diǎn)，運(yùn)用動(dòng)能定理求改變后物塊P的質(zhì)量．

解答 解：（1）6m的物體置于彈簧的頂端由靜止釋放，由機(jī)械能守恒得彈簧的彈性勢(shì)能為：E_P=6mgR     
P由B到達(dá)C點(diǎn)，由動(dòng)能定理有：W_彈-mg$\overline{BC}$sin37°-μmgcos37°•$\overline{BC}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0
由功能關(guān)系有：W_彈=E_P
得：v_C=$\sqrt{2gR}$            
（2）P由D到達(dá)E點(diǎn)作平拋運(yùn)動(dòng)，有：
R+Rcos37°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$           
$\overline{EC}$-Rsin37°=v_Dt                                 
解得：v_D=$\sqrt{\frac{18}{5}gR}$                                            
P由B到達(dá)D點(diǎn)，由動(dòng)能定理有：
W_彈-m′g$\overline{BC}$sin37°-μm′gcos37°•$\overline{BC}$-m′g（R+Rcos37°）=$\frac{1}{2}m′{v}_{D}^{2}$-0
解得：m′=$\frac{30}{43}$m
答：（1）若物塊P的質(zhì)量為m，物塊P到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大小是$\sqrt{2gR}$：
（2）物塊P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小是$\sqrt{\frac{18}{5}gR}$，改變后物塊P的質(zhì)量是$\frac{30}{43}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，抓住彈簧的彈性勢(shì)能與形變量有關(guān)，對(duì)于兩種情況，要抓住彈性勢(shì)能相等．對(duì)動(dòng)能定理的運(yùn)用，要選擇研究過(guò)程，分析哪些力對(duì)物體做功，進(jìn)而確定合力的功或總功．