Question

11．試將一天的時間記為T，地球半徑記為R，地球表面重力加速度為g．（結(jié)果可保留根式）
（1）試求地球同步衛(wèi)星P的軌道半徑R_P；
（2）若已知一衛(wèi)星Q位于赤道上空且衛(wèi)星Q運動方向與地球自轉(zhuǎn)方向相反，赤道上一城市A的人平均每三天觀測到衛(wèi)星Q四次掠過他的上空，試求Q的軌道半徑R_Q．

Answer 1

分析 1、地面附近衛(wèi)星繞地飛行時，重力等于萬有引力，同步衛(wèi)星繞地飛行，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求解軌道半徑；
2、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，赤道一城市A的人三天看到Q四次掠過上空，求出周期關(guān)系，由萬有引力等于向心力列出等式求解Q的軌道半徑．

解答 解：（1）地面附近衛(wèi)星繞地飛行時，重力等于萬有引力，則有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，
同步衛(wèi)星繞地飛行，根據(jù)萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{{R}_{P}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}{R}_{P}}{{T}^{2}}$，
解得：R_P=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）衛(wèi)星Q自東向西轉(zhuǎn)動，地球自西向東轉(zhuǎn)動，某時刻Q掠過A城市上空（AQ在同一直線上），根據(jù)題意，經(jīng)過t=$\frac{3}{4}T$，Q將再一次掠過A城市上空，則有：（ω_A+ω_Q）t=2π
即（$\frac{2π}{{T}_{A}}+\frac{2π}{{T}_{Q}}$）t=2π
而T_A=T，解得：T_Q=3T
根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得：$G\frac{M{m}_{Q}}{{{R}_{Q}}^{2}}={m}_{Q}（\frac{2π}{{T}_{Q}}）^{2}{R}_{Q}$
聯(lián)立以上各式得：${R}_{Q}=\root{3}{\frac{9g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
答：（1）地球同步衛(wèi)星P的軌道半徑R_P為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）Q的軌道半徑R_Q為$\root{3}{\frac{9g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道同步衛(wèi)星的特點，掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能熟練運用．