Question

7．如圖所示，由導(dǎo)線制成的正方形線框邊長(zhǎng)L，每條邊的電阻均為R，其中ab邊材料較粗且電阻率較大，其質(zhì)量為m，其余各邊的質(zhì)量均可忽略不計(jì)．線框可繞與cd邊重合的水平軸OO′自由轉(zhuǎn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力及摩擦．若線框始終處在方向豎直向下、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，線框從水平位置由靜止釋放，歷時(shí)t到達(dá)豎直位置，此時(shí)ab邊的速度為v，重力加速度為g．求：
（1）線框在豎直位置時(shí)，ab邊兩端的電壓及其所受安培力的大小．
（2）這一過(guò)程中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值．
（3）在這一過(guò)程中，通過(guò)線框?qū)Ь�橫截面的電荷量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式求出電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)閉合電路歐姆定律求出ab兩端的電壓，以及電流的大小，通過(guò)安培力大小公式求出安培力的大小．
（2）根據(jù)能量守恒定律求出整個(gè)過(guò)程中的熱量，抓住克服克服力做功等于產(chǎn)生的熱量求出感應(yīng)電流做的功，以及通過(guò)熱量的公式求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律求出平均電流，從而求出通過(guò)線框?qū)Ь�橫截面的電荷量．

解答 解：（1）ab邊切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv，
線框中的電流為I=$\frac{E}{4R}$，
ab兩端的電壓為U_ab=I•3R=$\frac{3}{4}$BLv
ab邊所受安培力為F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{4R}$．      
（2）線框下落過(guò)程中機(jī)械能的減少等于線框中產(chǎn)生的焦耳熱，
所以有mgL-$\frac{1}{2}$mv²=Q，
又因Q=（$\frac{E}{4R}$）²（4R）t，
解得：E=2$\sqrt{\frac{（mgL-\frac{1}{2}m{v}^{2}）R}{t}}$．      
（3）對(duì)于線框的下擺過(guò)程，垂直磁場(chǎng)線框的面積變化為△S=L²，
線框中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為$\overline{E}$$\frac{△∅}{△t}$，線框中的平均電流$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{4R}$=$\frac{B{L}^{2}}{4Rt}$．    
通過(guò)線框?qū)Ь�橫截面的電荷量：q=$\overline{I}t$=$\frac{B{L}^{2}}{4R}$；      
答：（1）線框在豎直位置時(shí)，ab邊兩端的電壓及其所受安培力的大小$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{4R}$．
（2）這一過(guò)程中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值2$\sqrt{\frac{（mgL-\frac{1}{2}m{v}^{2}）R}{t}}$．
（3）在這一過(guò)程中，通過(guò)線框?qū)Ь�橫截面的電荷量$\frac{B{L}^{2}}{4R}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的求法，以及知道它們的區(qū)別．