Question

15．如圖所示，順時針轉(zhuǎn)動的水平傳送帶AB與水平桌面CD在BC處無縫連接，水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道PN，其形狀為45°的半徑R=0.8m的圓弧，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離也是R．傳送帶以a=1m/s²的加速度勻加速運動，當(dāng)其速度為v₀=2m/s時將一個質(zhì)量m=2kg的物塊無初速地放在A點，物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，物塊過B點后其位移與時間的關(guān)系為X=6t-2t²，物塊飛離桌面后由P點沿切線落入圓軌道．g=10m/s²，求：

（1）物塊過D點時的速度　　　　　　　　
（2）BD間的水平距離．
（3）物塊過N點時，軌道受到的壓力　　　
（4）傳送帶的長度和物塊到達(dá)P點的時間．

Answer 1

分析 （1）物塊離開D點做平拋運動，由P點沿圓軌道切線落入圓軌道，知道了到達(dá)P點的速度方向，將P點的速度分解為水平方向和豎直方向，豎直方向上做自由落體運動，運用位移公式和速度公式得出時間和豎直分速度，再根據(jù)角度關(guān)系求出水平分速度，即離開D點時的速度v_D．
（2）將x=6t-2t²，與勻變速直線運動的位移公式x=v₀t+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$進(jìn)行比對，得到物塊通過B點后的初速度和加速度，由速度位移公式即可求得BD間的距離．
（3）物塊在內(nèi)軌道做圓周運動，根據(jù)機械能守恒求得物塊經(jīng)過N點的速度，再由牛頓運動定律求物塊對軌道的壓力．
（4）根據(jù)位移時間公式求解傳送帶的長度，并求得時間．由速度公式求出從B到D的時間，即可求得從BA運動到P點的時間．

解答 解：（1）依題意可知，平拋經(jīng)過P點時速度與水平方向夾角為45°．
有：tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$
平拋運動豎直方向上做自由落體運動，水平方向做勻速直線運動，則有：
v_y=gt₃
R=$\frac{1}{2}$gt₃²
解得物體平拋的時間為：t₃=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$s=0.4s，
豎直分速度為：v_y=gt₃=4m/s  
平拋水平初速度為：V_D=4m/s
即物塊過D點時的速度是4m/s．
（2）將x=6t-2t²，與勻變速直線運動的位移公式x=v₀t+$\frac{1}{2}$at²進(jìn)行比對，由可知物體經(jīng)過B點速度 v_B=6m/s，由B運動到D的加速度大小為：a′=-4m/s²．
又 v_D=4m/s
故物體由B運動到D的時間為：t₂=$\frac{{v}_{D}-{v}_{B}}{a′}$=$\frac{4-6}{-4}$s=0.5s
BD間的水平距離為：S=$\frac{{v}_{D}+{v}_{B}}{2}{t}_{2}$=$\frac{4+6}{2}×0.5$m=2.5m
（3）從D到N，由機械能守恒得：
mg[R+R（1-cos45°）]=$\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在N點，有：N-mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：N=（140-20$\sqrt{2}$）N
由牛頓第三定律得知物塊過N點時，軌道受到的壓力為：N′=N=（140-20$\sqrt{2}$）N
（4）物體在傳送帶上運動的加速度為：a″=$\frac{μmg}{m}$=μg=3m/s²；
則傳送帶的長度為：L=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2a″}$=$\frac{{6}^{2}}{2×3}$=6m
物體由A運動到B的時間為：t₁=$\frac{{v}_{B}}{a″}$=$\frac{6}{3}$s=2s
故物塊從A到達(dá)P點的時間為：t=t₁+t₂+t₃=2.9s
答：（1）物塊過D點時的速度是4m/s．　　　　　　　　
（2）BD間的水平距離是2.5m．
（3）物塊過N點時，軌道受到的壓力是（140-20$\sqrt{2}$）N．　　　
（4）傳送帶的長度是6m，物塊到達(dá)P點的時間是2.9s．

點評 該題是直線運動、平拋運動、圓周運動的綜合題，關(guān)鍵要正確分析物體的運動情況，運用運動的分解法分析平拋運動，判斷向心力的來源，由力學(xué)規(guī)律解答．