Question

5．如圖所示，光滑水平面與一傾斜運輸帶MP相接，運輸帶與水平面夾角為θ=30°，運輸帶順時針運行，速率v₀=5m/s．在水平面上的N點處放一質(zhì)量m=0.4kg的小物塊，N點與運輸帶下端M點間的距離x=2m．現(xiàn)對小物體施加水平恒力F=10N作用至M點撤掉，連接點M處是平滑的，小物體在此處無碰撞能量損失．小物體與運輸帶間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，到達運輸帶最高點P時速度恰好為零，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）小物體運動到M點時的速度大��；
（2）MP之間的距離L；
（3）小物體在運輸帶上運動的過程中相對運輸帶滑動的距離△s．

Answer 1

分析 （1）對物體在水平面上受力分析和做功分析，根據(jù)動能定理求小物體運動到M時的速度；
（2）小物體運動到M時的速度大于傳送帶的速度，物體將在摩擦力作用下做減速運動，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度和位移，當速度減至與傳送帶一致時，由于摩擦力小于物體重力沿斜面向下的分力，摩擦力改變方向向上，物體向上做減速運動，速度減為O時到達最高點P，分兩段求解物體上滑的位移即可；
（3）根據(jù)位移公式求出兩段位移以及兩段時間內(nèi)傳送帶的位移，由幾何關(guān)系即可求出小物塊相對運輸帶滑動的距離△s．

解答 解：
（1）小物體從N至M點的過程中受重力、支持力和拉力作用，只有拉力對物體做功，根據(jù)動能定理有：
$Fx=\frac{1}{2}m{v^2}$
可得：到達M點時小物體的速度$v=\sqrt{\frac{2Fx}{m}}=\sqrt{\frac{2×10×2}{0.4}}m/s=10m/s$
（2）小物體剛到輸送帶上相對運輸帶上滑到兩者共速前，受沿斜面向下摩擦力，做勻減速運動，令物體的加速度為a₁，根據(jù)牛頓第二定律有：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
解得a₁=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=gsinθ+μgcosθ$=$10×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}m/{s}^{2}=7.5m/{s}^{2}$
令此過程中物體上滑的距離為L₁，根據(jù)速度位移關(guān)系有：
$v_0^2-{v^2}=-2{a_1}{L_1}$
解得：L₁=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{-2{a}_{1}}=\frac{{5}^{2}-1{0}^{2}}{-2×7.5}m=5m$
小物體與傳送帶速度相等后，由于μmgcosθ＜mgsinθ，所以物體繼續(xù)做減速運動，相對于傳送帶下滑，受沿斜面向上摩擦力，令此時物體加速度為a₂，則根據(jù)牛頓第二定律有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
加速度a₂=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}=gsinθ-μgcosθ=10×\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$m/s²=2.5m/s²
令物體向上減速至速度為0時的位移為L₂，則根據(jù)速度位移關(guān)系有：
由$0-v_0^2=-2{a_2}{L_2}$
得L₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{{5}^{2}}{2×2.5}m=5m$  
所以MP之間的距離L=L₁+L₂=5+5m=10m．
（3）令物體速度由v減至v₀的時間為t₁，則由速度時間關(guān)系有：
v₀=v-a₁t₁
得物體第一階段減速的時間${t}_{1}=\frac{v-{v}_{0}}{{a}_{1}}=\frac{10-5}{7.5}s=\frac{2}{3}s$
所以運輸帶運行的位移${x_1}={v_0}{t_1}=\frac{10}{3}m$
小物體相對運輸帶位移$△{s_1}={L_1}-{x_1}=\frac{5}{3}$m
物體由速度v減至0時所用時間為t₂，由速度時間關(guān)系有：
0=v₀-a₂t₂
得第二階段減速時間t₂=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{2}}=\frac{5}{2.5}s=2s$
所以此過程中運輸帶運行的位移x₂=v₀t₂=10m
小物體相對運輸帶位移△s₂=L₂-x₂=-5m
小物體相對于運輸帶的位移：$△s=△{s}_{1}+△{s}_{2}=\frac{5}{3}-5=-\frac{10}{3}$ m
小物體在運輸帶上運動的過程中相對運輸帶滑動的距離△s大小為$\frac{10}{3}$m．
答：（1）小物體運動到M時的速度大小為10m/s；
（2）MP之間的距離L=10m；
（3）此過程中小物體與相對運輸帶滑動的距離△s是$\frac{10}{3}$m

點評 此題考查傳送帶、受力分析、牛頓第二定律、勻變速直線運動規(guī)律、摩擦生熱等知識點，熟練掌握相關(guān)知識，靜下心來分過程研究是解決問題的關(guān)鍵．