Question

18．目前磁卡已有廣泛的應(yīng)用，如圖甲所示，當(dāng)記錄磁性信息的磁卡以速度v在刷卡器插槽里勻速運動時，穿過刷卡器內(nèi)線圈的磁通量按Φ=Φ₀sinkvt規(guī)律變化，刷卡器內(nèi)置線圈等效電路如圖乙所示，已知線圈的匝數(shù)為n，電阻為r，外接電路的等效電阻為R．
（1）求線圈兩端的電壓U；
（2）若磁卡在刷卡器中運動的有效距離為l，則刷卡一次線圈上產(chǎn)生的熱量Q為多少？
（3）在任意一段△t=$\frac{π}{2kv}$的時間內(nèi)，通過等效電阻R的電荷量的最大值q_m為多少？

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動勢，并求出感應(yīng)電動勢的有效值，求出回路電流，再由歐姆定律得線圈兩端的電壓；
（2）根據(jù)焦耳定律求出線圈中的焦耳熱；
（3）根據(jù)q=$\overline{I}t$和$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$推導(dǎo)出$q=n\frac{△Φ}{R+r}$，求出通過等效電阻R上的電荷量的最大值${q}_{m}^{\;}$

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，有$E=n\frac{△Φ}{△t}$=$n{Φ}_{0}^{\;}kvcoskvt$
所以感應(yīng)電動勢的最大值${E}_{m}^{\;}=nkv{Φ}_{0}^{\;}$
電動勢的有效值$E=\frac{{E}_{m}^{\;}}{\sqrt{2}}=\frac{nkv{Φ}_{0}^{\;}}{\sqrt{2}}$
根據(jù)歐姆定律：E=I（R+r）
線圈兩端的電壓即電阻R兩端的電壓U=IR
代入解得：$U=\frac{n{Φ}_{0}^{\;}kv}{\sqrt{2}（r+R）}R$
（2）根據(jù)焦耳定律$Q={I}_{\;}^{2}rt$
運動時間$t=\frac{l}{v}$
代入解得：$Q=\frac{{n}_{\;}^{2}{Φ}_{0}^{2}{k}_{\;}^{2}vrl}{2（r+R）_{\;}^{2}}$
（3）電量$q=\overline{I}t$
平均電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
平均感應(yīng)電動勢$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$
聯(lián)立得$q=n\frac{△Φ}{r+R}$=$n\frac{{Φ}_{0}^{\;}sin（kvt+\frac{π}{2}）-{Φ}_{0}^{\;}sinkvt}{r+R}$=$n\frac{\sqrt{2}{Φ}_{0}^{\;}sin（kvt+φ）}{r+R}$
所以${q}_{m}^{\;}=n\frac{\sqrt{2}{Φ}_{0}^{\;}}{r+R}$
答：（1）線圈兩端的電壓U為$\frac{n{Φ}_{0}^{\;}kv}{\sqrt{2}（r+R）}R$；
（2）若磁卡在刷卡器中運動的有效距離為l，則刷卡一次線圈上產(chǎn)生的熱量Q為$\frac{{n}_{\;}^{2}{Φ}_{0}^{2}{k}_{\;}^{2}vrl}{2（r+R）_{\;}^{2}}$
（3）在任意一段△t=$\frac{π}{2kv}$的時間內(nèi)，通過等效電阻R的電荷量的最大值q_m為$n\frac{\sqrt{2}{Φ}_{0}^{\;}}{r+R}$

點評 本題考查對電磁感應(yīng)中感生電動勢的求解，交變電流的最大值和有效值的運用，交變電路中焦耳熱的求解和電荷量的計算．