Question

9．如圖1所示，水平面上有兩根足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN和PQ，兩導(dǎo)軌間距為l，電阻均可忽略不計(jì)．在M和P之間接有阻值為R的定值電阻，導(dǎo)體桿ab質(zhì)量為m、電阻為r，并與導(dǎo)軌接觸良好．整個(gè)裝置處于方向豎直向上磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．現(xiàn)給ab桿一個(gè)初速度v₀，使桿向右運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)ab桿剛好具有初速度v₀時(shí)，求此時(shí)ab桿兩端的電壓U，a、b兩端哪端電勢(shì)高；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D2中定性畫(huà)出通過(guò)電阻R的電流i隨時(shí)間變化規(guī)律的圖象；
（3）若將M和P之間的電阻R改為接一電容為C的電容器，如圖3所示．同樣給ab桿一個(gè)初速度v₀，使桿向右運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)分析說(shuō)明ab桿的運(yùn)動(dòng)情況，并推導(dǎo)證明桿穩(wěn)定后的速度為v=$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{l}^{2}C}$．

Answer 1

分析 （1）求解產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小，根據(jù)全電路歐姆定律求解電流強(qiáng)度和電壓，根據(jù)右手定則判斷電勢(shì)高低；
（2）分析桿的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，確定感應(yīng)電流變化情況，由此畫(huà)出圖象；
（3）桿在向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度逐漸減小、由此分析安培力的變化，確定運(yùn)動(dòng)情況；根據(jù)動(dòng)量定理求解最后的速度大�。�

解答 解：（1）ab桿切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=Blv₀
根據(jù)全電路歐姆定律有：I=$\frac{E}{R+r}$   
ab桿兩端電壓即路端電壓為：U=IR   
聯(lián)立解得：U=$\frac{Bl{v}_{0}R}{R+r}$，根據(jù)右手定則可得a端電勢(shì)高；
（2）桿在向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度逐漸減小、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)逐漸減小，根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得感應(yīng)電流逐漸減小，通過(guò)電阻R的電流i隨時(shí)間變化規(guī)律的圖象如圖所示：

（3）分析：當(dāng)ab桿以初速度v₀開(kāi)始切割磁感線時(shí)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電路開(kāi)始給電容器充電，有電流通過(guò)ab桿，桿在安培力的作用下做減速運(yùn)動(dòng)，隨著速度減小，安培力減小，加速度也減小，桿做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)電容器兩端電壓與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相等時(shí)，充電結(jié)束，桿以恒定的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
推導(dǎo)證明：當(dāng)電容器兩端電壓與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相等時(shí)有U=Blv
根據(jù)電容器電容C=$\frac{Q}{U}$                   
以ab桿為研究對(duì)象，在很短的一段時(shí)間△t內(nèi)，桿受到的沖量大小為BIl△t
從ab桿開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至速度達(dá)到穩(wěn)定的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量定理：∑-BIl△t=-BlQ=mv-mv₀
聯(lián)立可得v=$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{l}^{2}C}$．      
答：（1）當(dāng)ab桿剛好具有初速度v₀時(shí)，此時(shí)ab桿兩端的電壓為U$\frac{Bl{v}_{0}R}{R+r}$，a端電勢(shì)高；
（2）通過(guò)電阻R的電流i隨時(shí)間變化規(guī)律的圖象如圖所示；
（3）ab桿先做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，最后勻速運(yùn)動(dòng)，穩(wěn)定后的速度為v=$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{l}^{2}C}$，證明見(jiàn)解析．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下物體的平衡問(wèn)題；另一條是能量，分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．