Question

8．如圖所示，水平地面上固定一木板，小滑塊A質(zhì)量為m，帶電量為+q，與木板之間沒有摩擦力；小滑塊B質(zhì)量為3m，不帶電，與木板之間的摩擦因數(shù)μ=0.5；木板左邊界MN和PQ之間的距離為l，其間存在勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度E滿足qE=mg．B靜止在邊界PQ處，將A從木板左端靜止釋放，此后A、B會發(fā)生碰撞，每次碰撞均為彈性碰撞，且碰撞前后A、B的電量保持不變，A、B均可視為質(zhì)點，重力加速度為g．
（1）求第一次碰撞結(jié)束時A、B各自的速度；
（2）如木板足夠長，求A在電場中運(yùn)動的總時間：
（3）如木板總長度為$\frac{105}{64}l$，求A、B發(fā)生碰撞的次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出滑塊A第一次剛離開電場時速度．A、B發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動量守恒和能量守恒結(jié)合求解第一次碰撞結(jié)束時A、B各自的速度；
（2）第一次碰撞結(jié)束后，B向右減速至0，A先向左勻減速再反向勻加速，由牛頓第二定律和速度公式求出B減速運(yùn)動的時間和A在電場中運(yùn)動的時間．B減速運(yùn)動的時間總是與A在電場中運(yùn)動的時間相等，即每次都是A追上靜止的B發(fā)生彈性碰撞，分析A在電場中運(yùn)動的規(guī)律，再得到總時間．
（3）先由速度位移公式求出第一次碰撞后B向右勻減速的位移，根據(jù)速度關(guān)系分析B每次向右勻減速的位移，再結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）滑塊A第一次剛離開電場時速度為v₀，由動能定理得
  qEl=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
又 qE=mg，則 v₀=$\sqrt{2gl}$
A、B發(fā)生彈性碰撞，取向右為正方向，由動量守恒有
  mv₀=mv_A1+3mv_B1；
由能量守恒得
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A1}^{2}$+$\frac{1}{2}•3m{v}_{B}^{2}$
可得 v_A1=-$\frac{1}{2}{v}_{0}$=-$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向左；v_B1=$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向右
（2）然后B向右減速至0，減速運(yùn)動的加速度為 a=μg，用時 t_B1=$\frac{{v}_{B1}}{a}$=$\frac{{v}_{0}}{2μg}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$
A先向左勻減速再反向勻加速，在電場時間為 t_A1=2$\frac{m|{v}_{A1}|}{qE}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$，再勻速追上B
發(fā)生下一次彈性碰撞，由上述分析可知，B減速運(yùn)動的時間總是與A在電場中運(yùn)動的時間相等，即每次都是A追上靜止的B發(fā)生彈性碰撞，由碰撞可知，每次碰撞后A的速度大小滿足：
  v_A2=$\frac{1}{2}{v}_{A1}$，…v_An=$\frac{1}{2}{v}_{An-1}$
在電場中的時間也有  t_A2=$\frac{1}{2}{t}_{A1}$，…，t_An=$\frac{1}{2}{t}_{A（n-1）}$
則在電場中向左減速再反向加速的總時間 t′=$\frac{{t}_{A1}}{1-\frac{1}{2}}$=2t_A1=$\frac{2{v}_{0}}{g}$=2$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
第一次從電場左端到右端的時間為 t_A0=$\frac{l}{2{v}_{0}}$=$\sqrt{\frac{2l}{qE}m}$=$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
則A在電場中運(yùn)動的總時間 t_A=t_A0+t′=3$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
（3）第一次碰撞后B向右勻減速的位移為 s_B1=$\frac{{v}_{B1}^{2}}{2a}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g}$=$\frac{1}{2}l$
由于每次碰撞后B的速度為碰撞前A的速度的一半，也即為前一次B自己速度的一半，因此每次向右勻減速的位移為前一次的$\frac{1}{4}$，即s_Bn=$\frac{1}{4}$s_B（n-1）
如果A、B能發(fā)生n次碰撞，則B在右側(cè)運(yùn)動的總位移為 s_B=$\frac{105}{64}$l-l=$\frac{41}{64}$l應(yīng)滿足：
  s_B1+s_B2+…+s_B（n-1）＜s_B＜s_B1+s_B2+…+s_Bn；
由此可得 n=3
或者 s_B1=$\frac{1}{2}$l，s_B2=$\frac{1}{8}$l，s_B3=$\frac{1}{32}$l
s_B1+s_B2=$\frac{5}{8}$l，s_B1+s_B2+s_B3=$\frac{21}{32}$l
由此可得兩次碰后B還沒有掉下去，三次碰后總位移大小s_B，已經(jīng)掉下去了，即碰3次．
答：
（1）第一次碰撞結(jié)束時A、B各自的速度分別為-$\frac{1}{2}{v}_{0}$=-$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向左和$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向右；
（2）如木板足夠長，A在電場中運(yùn)動的總時間為3$\sqrt{\frac{2l}{g}}$：
（3）如木板總長度為$\frac{105}{64}l$，A、B發(fā)生碰撞3次．

點評 本題首先要正確分析兩個物體的運(yùn)動情況，運(yùn)用動量守恒、動能定理和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合分析位移和時間規(guī)律，同時要運(yùn)用歸納法求解總時間．