Question

11．如圖所示，在第一象限內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在第二象限中，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．圓形區(qū)域與x、y軸分別相切于A、C兩點(diǎn)；在A點(diǎn)正下方有一個(gè)粒子源P，P可以向x軸上方各個(gè)方向射出速度大小均為v₀，質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子（重力不計(jì)，不計(jì)粒子間的相互作用），其中沿y軸正方向射出的帶電粒子剛好從C點(diǎn)垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)
（1）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁惑應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（2）求帶電粒子到達(dá)x軸時(shí)的橫坐標(biāo)范圍和帶電粒子到達(dá)x軸前運(yùn)動(dòng)時(shí)間的范圍；
（3）如果將第一象限內(nèi)的電場(chǎng)方向改為沿x軸負(fù)方向，分析帶電粒子將從何處離開(kāi)磁場(chǎng)，可以不寫(xiě)出過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件，從A點(diǎn)沿y軸正方向射出的帶電粒子剛好從C點(diǎn)垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)，由幾何關(guān)系知道它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，再由洛侖茲力提供向心力可以求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（2）由于所有粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于磁場(chǎng)圓的半徑，可以證明：沿不同方向進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)方向均沿x軸正方向進(jìn)入電場(chǎng)，之后做類平拋運(yùn)動(dòng)，顯然運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的帶電粒子是從D點(diǎn)水平射出的粒子，由類平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律就能求出打在x軸的最遠(yuǎn)點(diǎn)．
（3）若將第一象限的電場(chǎng)改為沿x軸負(fù)方向，則粒子從磁場(chǎng)水平射出后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)至速度為零，再沿x軸負(fù)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于速度方向反向，則粒子所受洛侖茲力反向，最后從D點(diǎn)射出磁場(chǎng)，這就是磁聚焦的大原理．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)到C點(diǎn)的過(guò)程中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，軌跡為$\frac{1}{4}$個(gè)圓弧，軌跡半徑r=R
  由 Bqv₀=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
  得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$
（2）沿不同方向進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小均為v₀，方向均平行于x軸，其臨界狀態(tài)為粒子從D點(diǎn)沿x軸正方向離開(kāi)磁場(chǎng)，分析粒子從D點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的情
  況，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁=$\frac{1}{2}T$，T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$，
得t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}$
  從D點(diǎn)平行于x軸運(yùn)動(dòng)至y軸的時(shí)間t₂=$\frac{R}{{v}_{0}}$
  在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₃，則
  x₀=v₀t，2R=$\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}$，a=$\frac{qE}{m}$
  解得t₃=2$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$，x₀=2v₀$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$
 則t₁+t₂+t₃=$\frac{（π+1）R}{{v}_{0}}+2\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$ 
  帶電粒子到達(dá)x軸時(shí)的橫坐標(biāo)范圍為（0，2v₀$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$）
  到達(dá)x軸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的范圍為（$\frac{R}{{v}_{0}}$，$\frac{（π+1）R}{{v}_{0}}+2\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$）
（3）將第一象限內(nèi)的電場(chǎng)方向改為沒(méi)x軸負(fù)方向時(shí)，帶電粒子將從A點(diǎn)正上方的D點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)．
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁惑應(yīng)強(qiáng)度大小B為$\frac{m{v}_{0}}{qR}$．
（2）帶電粒子到達(dá)x軸時(shí)的橫坐標(biāo)范圍是（0，2v₀$\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$），帶電粒子到達(dá)x軸前運(yùn)動(dòng)時(shí)間的范
  圍是（$\frac{R}{{v}_{0}}$，$\frac{（π+1）R}{{v}_{0}}+2\sqrt{\frac{mR}{Eq}}$）
（3）如果將第一象限內(nèi)的電場(chǎng)方向改為沿x軸負(fù)方向，帶電粒子將從D點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵點(diǎn)是帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑恰與磁場(chǎng)圓的半徑相等，可以證明兩圓心與兩交點(diǎn)構(gòu)成菱形，所以兩對(duì)邊平行，從而離開(kāi)磁場(chǎng)中速度方向水平向右．這也是磁聚焦的大原理．